Liste as 7 indeterminações que encontramos no cálculo de limites, com ao menos 2 exemplos para cada que justifique porque são indeterminações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para listar as 7 indeterminações que aparecem no cálculo de limites. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral, mais especificamente na parte de limites. Para resolver, vamos precisar entender o que são essas indeterminações e dar exemplos que mostram por que elas são consideradas assim.

Passo 2

A primeira indeterminação é 0/0. Isso acontece quando, ao calcular um limite, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Por exemplo:
  • : aqui, ao substituir x por 2, obtemos 0/0.
  • : também resulta em 0/0 quando x tende a 0.

Passo 3

A segunda indeterminação é ∞/∞. Isso ocorre quando tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito. Exemplos:
  • : substituindo o infinito, temos ∞/∞.
  • : também resulta em ∞/∞.

Passo 4

A terceira indeterminação é 0 * ∞. Aqui, uma parte tende a zero e a outra ao infinito. Exemplos:
  • : x tende a 0 e tende a -∞.
  • : oscila entre -1 e 1, mas x tende a ∞, criando uma forma 0 * ∞.

Passo 5

A quarta indeterminação é ∞ - ∞. Acontece quando duas expressões tendem ao infinito e são subtraídas. Exemplos:
  • : ambos os termos tendem a ∞.
  • : ambos crescem sem limites.

Passo 6

A quinta indeterminação é 0^0. Isso ocorre quando a base tende a zero e o expoente também tende a zero. Exemplos:
  • : 0^0.
  • : outra forma de 0^0.

Passo 7

A sexta indeterminação é 1^∞. Aqui, a base tende a 1 e o expoente tende ao infinito. Exemplos:
  • : também resulta em 1^∞.

Passo 8

A sétima indeterminação é ∞^0. Isso acontece quando a base tende ao infinito e o expoente tende a zero. Exemplos:
  • : ∞^0.
  • : também forma ∞^0.

Resposta

Então, resumindo, as 7 indeterminações no cálculo de limites são:
  1. 0/0: ,
  2. ∞/∞: ,
  3. 0 * ∞: ,
  4. ∞ - ∞: ,
  5. 0^0: ,
  6. 1^∞: ,
  7. ∞^0: ,
Essas formas são consideradas indeterminadas porque, a partir delas, o limite pode ter diferentes valores dependendo de como as funções se comportam. Para resolver esses limites, geralmente usamos técnicas como a regra de L’Hôpital, expansão em série, ou transformações logarítmicas.

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