Liste as 7 indeterminações que encontramos no cálculo de limites, com ao menos 2 exemplos para cada que justifique porque são indeterminações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para listar as 7 indeterminações que aparecem no cálculo de limites. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral, mais especificamente na parte de limites. Para resolver, vamos precisar entender o que são essas indeterminações e dar exemplos que mostram por que elas são consideradas assim.
Passo 2
A primeira indeterminação é 0/0. Isso acontece quando, ao calcular um limite, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Por exemplo:
-
: aqui, ao substituir x por 2, obtemos 0/0. -
: também resulta em 0/0 quando x tende a 0.
Passo 3
A segunda indeterminação é ∞/∞. Isso ocorre quando tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito. Exemplos:
-
: substituindo o infinito, temos ∞/∞. -
: também resulta em ∞/∞.
Passo 4
A terceira indeterminação é 0 * ∞. Aqui, uma parte tende a zero e a outra ao infinito. Exemplos:
-
: x tende a 0 e tende a -∞. -
: oscila entre -1 e 1, mas x tende a ∞, criando uma forma 0 * ∞.
Passo 5
A quarta indeterminação é ∞ - ∞. Acontece quando duas expressões tendem ao infinito e são subtraídas. Exemplos:
-
: ambos os termos tendem a ∞. -
: ambos crescem sem limites.
Passo 6
A quinta indeterminação é 0^0. Isso ocorre quando a base tende a zero e o expoente também tende a zero. Exemplos:
-
: 0^0. -
: outra forma de 0^0.
Passo 7
A sexta indeterminação é 1^∞. Aqui, a base tende a 1 e o expoente tende ao infinito. Exemplos:
- : também resulta em 1^∞.
Passo 8
A sétima indeterminação é ∞^0. Isso acontece quando a base tende ao infinito e o expoente tende a zero. Exemplos:
-
: ∞^0. -
: também forma ∞^0.
Resposta
Então, resumindo, as 7 indeterminações no cálculo de limites são:
- 0/0:
, - ∞/∞:
, - 0 * ∞:
, - ∞ - ∞:
, - 0^0:
, - 1^∞:
, - ∞^0:
,
Essas formas são consideradas indeterminadas porque, a partir delas, o limite pode ter diferentes valores dependendo de como as funções se comportam. Para resolver esses limites, geralmente usamos técnicas como a regra de L’Hôpital, expansão em série, ou transformações logarítmicas.
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(7)
Calcule
Calcule
, em que
Escreva os 10 primeiros termos da série
e de
, a partir disso compare tais séries e conclua para qual valor de
elas são iguais.