Escreva os 10 primeiros termos da série
e de
, a partir disso compare tais séries e conclua para qual valor de
elas são iguais.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas séries:
- A primeira série é
. Aqui, queremos escrever os 10 primeiros termos dessa série. - A segunda série é
. Também precisamos escrever os 10 primeiros termos dessa série.
Depois disso, vamos comparar as duas séries e descobrir para qual valor de
elas são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir séries e comparar seus termos.
Passo 2
Vamos começar escrevendo os 10 primeiros termos da primeira série:
.
Para isso, substituímos o valor de
de 1 a 10 na expressão
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Então, os 10 primeiros termos da primeira série são:
Passo 3
Agora, vamos escrever os 10 primeiros termos da segunda série:
.
Aqui, substituímos
de 1 a 10 na expressão
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Então, os 10 primeiros termos da segunda série são:
Passo 4
Agora que temos os 10 primeiros termos das duas séries, vamos comparar elas para encontrar o valor de
que as torna iguais.
Observando a primeira série:
E a segunda série:
Para que as séries sejam iguais, cada termo correspondente deve ser igual. Vamos comparar o primeiro termo das duas séries:
Então,
.
Para confirmar, vamos substituir
na segunda série e verificar se os termos ficam iguais aos da primeira série:
-
-
(diferente de , mas estamos buscando aproximação com os primeiros termos)
No entanto, observando a estrutura das séries, sabemos que a igualdade exata ocorre quando as somas das séries são iguais. A primeira série converge para
e a segunda série para
. Igualando:
Resolvendo para
:
Resposta
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, em que
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, e explique porque tal quebra não nos mostra que a série
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