Escreva os 10 primeiros termos da série sumn=1^infty[12 n-12 n-1] e de sumn=1^infty(-1)^n+1 alpha^nn, a partir disso compare tais séries e conclua para qual valor de alpha elas são iguais.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas séries:
  1. A primeira série é . Aqui, queremos escrever os 10 primeiros termos dessa série.
  2. A segunda série é . Também precisamos escrever os 10 primeiros termos dessa série.
Depois disso, vamos comparar as duas séries e descobrir para qual valor de elas são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir séries e comparar seus termos.

Passo 2

Vamos começar escrevendo os 10 primeiros termos da primeira série: -12, -112, -130, -156, -190, -1132, -1182, -1240, -1306, -1380 .
Para isso, substituímos o valor de de 1 a 10 na expressão :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :
  6. Para :
  7. Para :
  8. Para :
  9. Para :
  10. Para :
Então, os 10 primeiros termos da primeira série são:

Passo 3

Agora, vamos escrever os 10 primeiros termos da segunda série: alpha, -alpha^22, alpha^33, -alpha^44, alpha^55, -alpha^66, alpha^77, -alpha^88, alpha^99, -alpha^1010 .
Aqui, substituímos de 1 a 10 na expressão :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :
  6. Para :
  7. Para :
  8. Para :
  9. Para :
  10. Para :
Então, os 10 primeiros termos da segunda série são:

Passo 4

Agora que temos os 10 primeiros termos das duas séries, vamos comparar elas para encontrar o valor de -12, -112, -130, -156, -190, -1132, -1182, -1240, -1306, -1380 que as torna iguais.
Observando a primeira série:
alpha, -alpha^22, alpha^33, -alpha^44, alpha^55, -alpha^66, alpha^77, -alpha^88, alpha^99, -alpha^1010
E a segunda série:
-12 = alpha
Para que as séries sejam iguais, cada termo correspondente deve ser igual. Vamos comparar o primeiro termo das duas séries:
-ln(2) = ln(1 + alpha)
Então, 1 + alpha = e^-ln(2) = 12 alpha = 12 - 1 = -12 .
Para confirmar, vamos substituir na segunda série e verificar se os termos ficam iguais aos da primeira série:
  1. (diferente de , mas estamos buscando aproximação com os primeiros termos)
No entanto, observando a estrutura das séries, sabemos que a igualdade exata ocorre quando as somas das séries são iguais. A primeira série converge para e a segunda série para . Igualando:
Resolvendo para :

Resposta

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