Explique a diferença de uma série convergir absolutamente e condicionalmente, e dê 2 exemplos de séries que convergem condicionalmente, explicando porque a convergência não é absoluta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre séries matemáticas, mais especificamente sobre a diferença entre uma série que converge absolutamente e uma que converge condicionalmente. Pra resolver isso, vamos precisar entender esses conceitos de convergência e aplicar exemplos práticos para ilustrar a diferença.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa uma série convergir absolutamente. Uma série ∑aₙ converge absolutamente se a série formada pelos valores absolutos dos seus termos, ou seja, ∑|aₙ|, também converge. Isso garante que a série original é estável, independente da ordem dos termos.

Passo 3

Agora, uma série converge condicionalmente quando ela própria converge, mas a série dos seus valores absolutos ∑|aₙ| não converge. Isso quer dizer que a convergência da série original depende da ordem dos termos, e não é tão robusta quanto a convergência absoluta.

Passo 4

Vamos para os exemplos. O primeiro é a série harmônica alternada:
Essa série converge condicionalmente. Ela converge porque os termos alternam de sinal e diminuem de valor, atendendo ao critério da série alternada. Porém, se a gente olha para os valores absolutos:
Essa é a série harmônica, que é conhecida por divergir. Então, a série original não converge absolutamente.

Passo 5

O segundo exemplo é a série:
Assim como no primeiro caso, essa série também converge condicionalmente. A razão é que, embora os termos alternem de sinal e diminuam em magnitude, a série dos valores absolutos:
não converge, já que é uma série p com p = 1/2, que é menor que 1, e portanto, não satisfaz o critério de convergência para séries p.

Resposta

Em resumo, séries que convergem absolutamente têm a soma dos valores absolutos dos termos convergindo, garantindo uma convergência mais forte. Já as séries que convergem condicionalmente só convergem quando consideramos os sinais dos termos, e a soma dos valores absolutos não converge. Os exemplos apresentados ilustram bem essa diferença.

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