(i) Suponha que . Existe o limite ?
(ii) Suponha que . Mostre que, se a sequência é limitada, então .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes:
(i) Queremos saber se o limite existe, dado que .
(ii) Precisamos mostrar que, se e a sequência é limitada, então .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de funções exponenciais.

Passo 2

Parte (i): Vamos começar analisando o limite quando .
Quando temos , isso significa que tanto quanto vão diminuir à medida que aumenta, mas diminui mais devagar porque é maior que .
Teoria Aplicada: Sabemos que para grandes é aproximadamente o máximo entre e , se uma das potências domina a outra.

Passo 3

No nosso caso, como , quando tende ao infinito, domina . Portanto, é aproximadamente igual a para valores grandes de .
Então, o limite fica:

Passo 4

Parte (ii): Agora, vamos mostrar que se e a sequência é limitada, então .
Teoria Aplicada: Se duas potências com a mesma base têm exponents que crescem sem limite e a diferença delas é limitada, as bases devem ser iguais. Caso contrário, uma crescerá mais rápido que a outra, fazendo a diferença crescer sem limite.

Passo 5

Dado que , podemos escrever e , onde e são os argumentos das complexas e .
Se , então , e as potências e vão girar no plano complexo com velocidades diferentes, fazendo a diferença não ser limitada, já que os termos não se cancelam de forma consistente.
Portanto, para que seja limitada, precisamos que , ou seja, .

Resposta

(i) O limite existe e é igual a .
(ii) Se e a sequência é limitada, então .

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Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
Calcule
Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função , definida por , cujo domínio é tal que .
Mostre que