(i) Suponha que
. Existe o limite
?
(ii) Suponha que
. Mostre que, se a sequência
é limitada, então
.
(ii) Suponha que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes:
(i) Queremos saber se o limite
existe, dado que
.
(ii) Precisamos mostrar que, se
e a sequência
é limitada, então
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de funções exponenciais.
Passo 2
Parte (i): Vamos começar analisando o limite
quando
.
Quando temos
, isso significa que tanto
quanto
vão diminuir à medida que
aumenta, mas
diminui mais devagar porque
é maior que
.
Teoria Aplicada: Sabemos que
para grandes
é aproximadamente o máximo entre
e
, se uma das potências domina a outra.
Passo 3
No nosso caso, como
, quando
tende ao infinito,
domina
. Portanto,
é aproximadamente igual a
para valores grandes de
.
Então, o limite fica:
Passo 4
Parte (ii): Agora, vamos mostrar que se
e a sequência
é limitada, então
.
Teoria Aplicada: Se duas potências com a mesma base têm exponents que crescem sem limite e a diferença delas é limitada, as bases devem ser iguais. Caso contrário, uma crescerá mais rápido que a outra, fazendo a diferença crescer sem limite.
Passo 5
Dado que
, podemos escrever
e
, onde
e
são os argumentos das complexas
e
.
Se
, então
, e as potências
e
vão girar no plano complexo com velocidades diferentes, fazendo a diferença
não ser limitada, já que os termos não se cancelam de forma consistente.
Portanto, para que
seja limitada, precisamos que
, ou seja,
.
Resposta
(i) O limite
existe e é igual a
.
(ii) Se
e a sequência
é limitada, então
.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
Calcule
Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
, definida por
, cujo domínio é
tal que
.
Mostre que