Calcule lim n infty sn e conclua que a série sumn=2^infty 3n(n-1) é convergente. Qual a soma desta série?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos o limite de uma sequência quando vai para o infinito. Depois, precisamos mostrar que a série converge e descobrir qual é a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e séries, além de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série convergente. Uma série converge se a soma dos seus termos tende a um valor finito quando adicionamos infinitos termos. Para isso, analisamos o limite das somas parciais .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão 3n(n-1) = An-1 + Bn usando frações parciais. Queremos encontrar números 3 = A cdot n + B cdot (n-1) e A + B = 0 (coeficiente de n) tais que:
- B = 3 (termo independente)
Multiplicando ambos os lados por 3n(n-1) = 3n-1 - 3n , temos:
Para encontrar e , igualamos os coeficientes:
Resolvendos, temos e . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos somar os termos de sm = sumn=2^m ( 3n-1 - 3n ) até sm = ( 31 - 32 ) + ( 32 - 33 ) + ( 33 - 34 ) + dots + ( 3m-1 - 3m ) :
sm = 3 - 3m
Isso é uma série telescópica, onde a maior parte dos termos se cancela. Vamos escrever alguns termos para ver:
Observa-se que todos os termos intermediários se cancelam, ficando apenas:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limm to infty sm = limm to infty ( 3 - 3m ) = 3 - 0 = 3 quando tende ao infinito:
Isso mostra que a sequência converge para 3.

Passo 6

Como o limite das somas parciais existe e é finito, concluímos que a série é convergente. Além disso, a soma dessa série é igual a 3.

Resposta

A série converge e sua soma é igual a 3.

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