Calcule
e conclua que a série
é convergente. Qual a soma desta série?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos o limite de uma sequência
quando
vai para o infinito. Depois, precisamos mostrar que a série
converge e descobrir qual é a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e séries, além de decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série convergente. Uma série
converge se a soma dos seus termos tende a um valor finito quando adicionamos infinitos termos. Para isso, analisamos o limite das somas parciais
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
usando frações parciais. Queremos encontrar números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para encontrar
e
, igualamos os coeficientes:
Resolvendos, temos
e
. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos somar os termos de
até
:
Isso é uma série telescópica, onde a maior parte dos termos se cancela. Vamos escrever alguns termos para ver:
Observa-se que todos os termos intermediários se cancelam, ficando apenas:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso mostra que a sequência
converge para 3.
Passo 6
Como o limite das somas parciais existe e é finito, concluímos que a série
é convergente. Além disso, a soma dessa série é igual a 3.
Resposta
A série
converge e sua soma é igual a 3.