Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
32. Cada superfície de nível de f(x, y, z) = x + 2y + 3z é um plano.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se cada superfície de nível da função é um plano. Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar saber o que são superfícies de nível e o que define um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma superfície de nível. Para uma função de três variáveis, uma superfície de nível é o conjunto de todos os pontos tais que , onde é uma constante. No nosso caso, isso significa que temos a equação:

Passo 3

Agora, vamos analisar esta equação. Ela está na forma geral de uma equação de um plano no espaço tridimensional, que é:
No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
Aqui, , , e .

Passo 4

Com isso, vemos que para qualquer valor de , a equação representa um plano no espaço. Portanto, cada superfície de nível da função é de fato um plano.

Resposta

Verdadeiro. Cada superfície de nível da função é um plano, pois a equação sempre representa um plano no espaço tridimensional.

Exercícios relacionados

Calcule lim n infty sn e conclua que a série sumn=2^infty 3n(n-1) é convergente. Qual a soma desta série?
13
Calcule a soma da série sumn=2^infty 1n^5 com precisão de três casas decimais.
Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
-4 + 8/3 - 16/9 + 32/27 - 64/81 + ...
Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty nraiz1+n^2