Use o teste da comparação para mostrar se as séries abaixo convergem ou divergem:
b)
b)
Passo 1
Vamos resumir a questão: precisamos determinar se a série
converge ou diverge, utilizando o teste da comparação. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o teste da comparação e identificar uma série conhecida com a qual podemos comparar a nossa.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o teste da comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com outra série que já sabemos se converge ou diverge. Existem duas situações principais:
- Comparação com uma série maior: Se todos os termos da nossa série forem menores que os termos de uma série que já sabemos que converge, então a nossa série também converge.
- Comparação com uma série menor: Se todos os termos da nossa série forem maiores que os termos de uma série que diverge, então a nossa série também diverge.
Passo 3
Vamos analisar os termos da nossa série:
. Observamos que, à medida que
cresce, o termo
se torna menos significativo comparado a
. Portanto, para valores grandes de
, podemos dizer que
é aproximadamente igual a
. Assim, podemos comparar nossa série com
.
Passo 4
Sabemos que a série
é chamada de série p, e ela converge quando
. No nosso caso, temos
, que é maior que 1. Portanto, a série
converge.
Passo 5
Agora, vamos comparar os termos das duas séries:
Isso significa que cada termo da nossa série original é menor que o termo correspondente da série
, que sabemos que converge. Pelo teste da comparação, se uma série tem termos menores que uma série que converge, então a nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.
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em palavras.
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©
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13
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Calcule
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