Use o teste da comparação para mostrar se as séries abaixo convergem ou divergem:
b) sumn=1^infty 2n^3+4

Passo 1

Vamos resumir a questão: precisamos determinar se a série converge ou diverge, utilizando o teste da comparação. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o teste da comparação e identificar uma série conhecida com a qual podemos comparar a nossa.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o teste da comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com outra série que já sabemos se converge ou diverge. Existem duas situações principais:
  1. Comparação com uma série maior: Se todos os termos da nossa série forem menores que os termos de uma série que já sabemos que converge, então a nossa série também converge.
  2. Comparação com uma série menor: Se todos os termos da nossa série forem maiores que os termos de uma série que diverge, então a nossa série também diverge.

Passo 3

Vamos analisar os termos da nossa série: . Observamos que, à medida que cresce, o termo se torna menos significativo comparado a . Portanto, para valores grandes de , podemos dizer que é aproximadamente igual a . Assim, podemos comparar nossa série com .

Passo 4

Sabemos que a série é chamada de série p, e ela converge quando . No nosso caso, temos , que é maior que 1. Portanto, a série converge.

Passo 5

Agora, vamos comparar os termos das duas séries:
2n^3+4 < 2n^3 para todo n >= 1
Isso significa que cada termo da nossa série original é menor que o termo correspondente da série , que sabemos que converge. Pelo teste da comparação, se uma série tem termos menores que uma série que converge, então a nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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