Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
-4 + 8/3 - 16/9 + 32/27 - 64/81 + ...

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também tem que calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e usar algumas fórmulas básicas de matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar de que tipo de série estamos lidando. Olhando os termos, percebemos que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante. Isso significa que estamos lidando com uma série geométrica. Séries geométricas têm a forma geral:
onde:
  • é o primeiro termo,
  • é a razão comum (o número pelo qual multiplicamos para chegar de um termo ao próximo).

Passo 3

Agora, vamos encontrar o primeiro termo ( ) e a razão comum ( ) da nossa série.
  • O primeiro termo é .
  • Para encontrar , dividimos o segundo termo pelo primeiro:
Então, a razão comum é .

Passo 4

Para saber se a série converge, precisamos verificar o valor absoluto da razão comum . Se , a série converge; se , ela diverge.
Como , a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma dos termos de uma série geométrica infinita:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A série é convergente e a soma dela é ou .

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