Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também tem que calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e usar algumas fórmulas básicas de matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar de que tipo de série estamos lidando. Olhando os termos, percebemos que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante. Isso significa que estamos lidando com uma série geométrica. Séries geométricas têm a forma geral:
onde:
é o primeiro termo,
é a razão comum (o número pelo qual multiplicamos para chegar de um termo ao próximo).
Passo 3
Agora, vamos encontrar o primeiro termo () e a razão comum () da nossa série.
O primeiro termo é .
Para encontrar , dividimos o segundo termo pelo primeiro:
Então, a razão comum é .
Passo 4
Para saber se a série converge, precisamos verificar o valor absoluto da razão comum . Se , a série converge; se , ela diverge.
Como , a série converge.
Passo 5
Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma dos termos de uma série geométrica infinita: