Determine o domínio das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar o domínio da função . Isso está relacionado ao domínio de funções de duas variáveis. Para encontrar o domínio, precisamos identificar todas as combinações de e que fazem com que a função seja válida, ou seja, que não causem erros como divisão por zero ou logaritmo de número não positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte do logaritmo natural, que é . O logaritmo só está definido para números positivos, então precisamos que o argumento dentro do logaritmo seja maior que zero:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador, que é . A raiz quadrada está definida para números não negativos, mas como está no denominador, também não podemos ter divisão por zero. Portanto, o que está dentro da raiz deve ser maior que zero:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, temos duas condições que precisam ser satisfeitas simultaneamente:
Vamos tentar ver se essas duas desigualdades podem ser verdadeiras ao mesmo tempo.
Da primeira condição, . Se substituirmos na primeira, teríamos:
Isso nos diz que deve ser negativo. Mas, se é negativo, vamos verificar a segunda condição . Mesmo assim, tentando encontrar valores específicos que satisfaçam ambas as condições, percebemos que não há nenhum par de e que possa satisfazer e ao mesmo tempo.

Resposta

O domínio da função é o conjunto vazio, já que não existem valores de e que satisfazem simultaneamente as condições e .

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Considere uma série de potências na qual os coeficientes se repetem ciclicamente, , onde é qualquer e é fixado. Calcule seu raio de convergência e sua soma.
Mostre que, se então .
Calcule .