Determine o domínio das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar o domínio da função
. Isso está relacionado ao domínio de funções de duas variáveis. Para encontrar o domínio, precisamos identificar todas as combinações de
e
que fazem com que a função seja válida, ou seja, que não causem erros como divisão por zero ou logaritmo de número não positivo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte do logaritmo natural, que é
. O logaritmo só está definido para números positivos, então precisamos que o argumento dentro do logaritmo seja maior que zero:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador, que é
. A raiz quadrada está definida para números não negativos, mas como está no denominador, também não podemos ter divisão por zero. Portanto, o que está dentro da raiz deve ser maior que zero:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, temos duas condições que precisam ser satisfeitas simultaneamente:
Vamos tentar ver se essas duas desigualdades podem ser verdadeiras ao mesmo tempo.
Da primeira condição,
. Se substituirmos
na primeira, teríamos:
Isso nos diz que
deve ser negativo. Mas, se
é negativo, vamos verificar a segunda condição
. Mesmo assim, tentando encontrar valores específicos que satisfaçam ambas as condições, percebemos que não há nenhum par de
e
que possa satisfazer
e
ao mesmo tempo.
Resposta
O domínio da função é o conjunto vazio, já que não existem valores de
e
que satisfazem simultaneamente as condições
e
.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
Considere uma série de potências
na qual os coeficientes se repetem ciclicamente,
, onde
é qualquer e
é fixado. Calcule seu raio de convergência e sua soma.
Mostre que, se
então
.
Calcule
.