Calcule lim x 1 f(x), onde a função f: R R é definida por f(x)=lx^2-1x-1, se x neq 1 3, se x=1.
Esta função é contínua em x=1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de quando se aproxima de 1, onde a função é definida de forma diferente para e para . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites e a definição de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e verificar se a função é contínua nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de f(x) = x^2-1x-1, & se x neq 1 3, & se x = 1 quando se aproxima de 1. A função é definida como:
Para calcular o limite quando se aproxima de 1, consideramos os valores de próximos a 1, mas diferentes de 1. Então, vamos simplificar a expressão .

Passo 3

Observe que x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) pode ser fatorado usando a diferença de quadrados:
x^2-1x-1 = (x - 1)(x + 1)x - 1
Então, substituindo na expressão original:

Passo 4

Nos casos onde (x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1 , podemos simplificar a fração cancelando no numerador e no denominador:
Portanto, para , .

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limx to 1 f(x) = limx to 1 (x + 1) = 1 + 1 = 2 quando se aproxima de 1 usando a expressão simplificada :

Passo 6

Agora, vamos verificar se a função é contínua em . Para uma função ser contínua em um ponto, três condições devem ser satisfeitas:
  1. A função está definida no ponto.
  2. O limite da função quando se aproxima do ponto existe.
  3. O limite é igual ao valor da função no ponto.
No nosso caso:
  1. (a função está definida em 1).
  2. (calculamos anteriormente).
  3. .

Resposta

O limite de quando se aproxima de 1 é igual a 2. Como esse limite é diferente do valor da função em (que é 3), a função não é contínua em .

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