Calcule
, onde a função
é definida por
.
Esta função é contínua em
?
Esta função é contínua em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 1, onde a função
é definida de forma diferente para
e para
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites e a definição de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e verificar se a função é contínua nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. A função é definida como:
Para calcular o limite quando
se aproxima de 1, consideramos os valores de
próximos a 1, mas diferentes de 1. Então, vamos simplificar a expressão
.
Passo 3
Observe que
pode ser fatorado usando a diferença de quadrados:
Então, substituindo na expressão original:
Passo 4
Nos casos onde
, podemos simplificar a fração cancelando
no numerador e no denominador:
Portanto, para
,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 usando a expressão simplificada
:
Passo 6
Agora, vamos verificar se a função é contínua em
. Para uma função ser contínua em um ponto, três condições devem ser satisfeitas:
- A função está definida no ponto.
- O limite da função quando
se aproxima do ponto existe. - O limite é igual ao valor da função no ponto.
No nosso caso:
-
(a função está definida em 1). -
(calculamos anteriormente). -
.
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de 1 é igual a 2. Como esse limite é diferente do valor da função em
(que é 3), a função não é contínua em
.
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(b)
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§
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