Calcule , onde a função é definida por .
Esta função é contínua em ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de quando se aproxima de 1, onde a função é definida de forma diferente para e para . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites e a definição de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e verificar se a função é contínua nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1. A função é definida como:
Para calcular o limite quando se aproxima de 1, consideramos os valores de próximos a 1, mas diferentes de 1. Então, vamos simplificar a expressão .

Passo 3

Observe que pode ser fatorado usando a diferença de quadrados:
Então, substituindo na expressão original:

Passo 4

Nos casos onde , podemos simplificar a fração cancelando no numerador e no denominador:
Portanto, para , .

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 usando a expressão simplificada :

Passo 6

Agora, vamos verificar se a função é contínua em . Para uma função ser contínua em um ponto, três condições devem ser satisfeitas:
  1. A função está definida no ponto.
  2. O limite da função quando se aproxima do ponto existe.
  3. O limite é igual ao valor da função no ponto.
No nosso caso:
  1. (a função está definida em 1).
  2. (calculamos anteriormente).
  3. .

Resposta

O limite de quando se aproxima de 1 é igual a 2. Como esse limite é diferente do valor da função em (que é 3), a função não é contínua em .

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