Calcule
, onde a função
é definida por
. Esta função é contínua em
?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente para
igual a 1 e para
diferente de 1. Precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 e verificar se a função é contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. A função
é dada por:
Para
, podemos simplificar a expressão
.
Passo 3
Vamos simplificar
. Sabemos que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, substituindo na fração:
Passo 4
Agora que simplificamos, a função para
é
. Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1:
Passo 5
Para verificar se a função é contínua em
, precisamos comparar o limite que acabamos de calcular com o valor da função nesse ponto. Sabemos que:
Como o limite
é diferente de
, a função não é contínua em
.
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de 1 é 2. A função não é contínua em
porque o limite não coincide com o valor da função nesse ponto.