Calcule lim x 1 f(x), onde a função f: R R é definida por f(x)=lx^2-1x-1, se x neq 1 3, se x=1. Esta função é contínua em x=1 ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para igual a 1 e para diferente de 1. Precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 e verificar se a função é contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de f(x) = x^2 - 1x - 1, & se x neq 1 3, & se x = 1 quando se aproxima de 1. A função é dada por:
Para , podemos simplificar a expressão .

Passo 3

Vamos simplificar x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Sabemos que (x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1 para x neq 1 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, substituindo na fração:

Passo 4

Agora que simplificamos, a função para limx to 1 f(x) = limx to 1 (x + 1) = 1 + 1 = 2 é . Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1:

Passo 5

Para verificar se a função é contínua em f(1) = 3 , precisamos comparar o limite que acabamos de calcular com o valor da função nesse ponto. Sabemos que:
Como o limite é diferente de , a função não é contínua em .

Resposta

O limite de quando se aproxima de 1 é 2. A função não é contínua em porque o limite não coincide com o valor da função nesse ponto.

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