Calcule , onde a função é definida por . Esta função é contínua em ?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para igual a 1 e para diferente de 1. Precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 e verificar se a função é contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1. A função é dada por:
Para , podemos simplificar a expressão .
Passo 3
Vamos simplificar . Sabemos que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, substituindo na fração:
Passo 4
Agora que simplificamos, a função para é . Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1:
Passo 5
Para verificar se a função é contínua em , precisamos comparar o limite que acabamos de calcular com o valor da função nesse ponto. Sabemos que:
Como o limite é diferente de , a função não é contínua em .
Resposta
O limite de quando se aproxima de 1 é 2. A função não é contínua em porque o limite não coincide com o valor da função nesse ponto.
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Descreva o gráfico das seguintes funções.
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Escreva uma expressão para .
Sejam uma função invertível e derivável e . Sabendo que e , calcule e .