Seja f(x)=sen(x)+1 e seja g(x)=integralx^2^x^3 f(t) d t.
Escreva uma expressão para g(x).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos dá duas funções:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre integrais definidas, que basicamente calculam a área sob a curva de uma função entre dois pontos. Vamos precisar saber como integrar e depois avaliar essa integral nos limites dados, que são e .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral f(t) , dt = integral (sin(t) + 1) , dt = -cos(t) + t + C . Para isso, lembramos que a integral de é e a integral de 1 é . Então, a integral indefinida de é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos nos preocupar aqui porque vamos usar uma integral definida.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
integrala^b f(t) , dt = F(b) - F(a)
Onde g(x) = F(x^3) - F(x^2) = [ -cos(x^3) + x^3 ] - [ -cos(x^2) + x^2 ] é a antiderivada de . Já encontramos .
Então, aplicando os limites e , temos:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
g(x) = -cos(x^3) + x^3 + cos(x^2) - x^2
Rearranjando para deixar mais claro:
g(x) = x^3 - x^2 + cos(x^2) - cos(x^3)

Resposta

Portanto, a expressão para g(x) = x^3 - x^2 + cos(x^2) - cos(x^3) é:

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