Sejam f uma função invertível e derivável e g(x) = raiz(f(x)^3). Sabendo que f(0) = 1 e f'(0) = -1, calcule g(0) e g'(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar os valores de e , onde . Sabemos que é uma função invertível e derivável, e temos os valores e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções compostas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Já que , substituímos por 0:
Como sabemos que :

Passo 3

Agora, vamos encontrar , ou seja, a derivada de em 0. Primeiro, precisamos encontrar a expressão geral da derivada de .
Sabemos que . Podemos reescrever isso como:
Para derivar , usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é .
Aplicando isso aqui:

Passo 4

Agora, precisamos avaliar . Substituímos por 0 na expressão da derivada:
Sabemos que e :

Resposta

e .

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