Descreva o gráfico das seguintes funções.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos descrever o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e composição de funções. Vamos precisar saber como o gráfico da tangente se comporta e como a função seno reage a isso.

Passo 2

Vamos começar analisando a função interna, que é . A tangente tem um domínio onde , para todo inteiro , porque nesses pontos a tangente vai ao infinito (são assíntotas verticais).

Passo 3

Agora, observamos que a função seno ( ) tem um intervalo entre -1 e 1, ou seja, para qualquer ângulo . Isso significa que, mesmo que possa assumir todos os valores reais, ao passarmos para dentro do seno, o resultado sempre estará entre -1 e 1.

Passo 4

Vamos pensar na composição . Sempre que aumentar ou diminuir muito, o seno vai “limitar” esse valor dentro do intervalo de -1 a 1. No gráfico, isso faz com que a função oscile entre esses valores, mesmo que tenha picos altos ou baixos.

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  1. Marque as assíntotas verticais de em .
  2. Entre duas assíntotas, a tangente passa de a , então o seno dessa tangente vai oscilar de -1 a 1 de forma periódica.
  3. O gráfico de terá uma forma oscilante dentro de cada intervalo entre as assíntotas da tangente, sem ultrapassar os valores -1 e 1.

Resposta

O gráfico de consiste em ondas oscilantes que variam entre -1 e 1 em cada intervalo aberto entre as assíntotas verticais de em , para todo inteiro . Essas oscilações se repetem periodicamente, criando um padrão contínuo de ondas limitadas dentro de cada segmento delimitado pelas assíntotas da tangente.

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Calcule , onde a função é definida por . Esta função é contínua em ?
Seja e seja .
Escreva uma expressão para .