Descreva o gráfico das seguintes funções.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos descrever o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e composição de funções. Vamos precisar saber como o gráfico da tangente se comporta e como a função seno reage a isso.
Passo 2
Vamos começar analisando a função interna, que é
. A tangente tem um domínio onde
, para todo inteiro
, porque nesses pontos a tangente vai ao infinito (são assíntotas verticais).
Passo 3
Agora, observamos que a função seno (
) tem um intervalo entre -1 e 1, ou seja,
para qualquer ângulo
. Isso significa que, mesmo que
possa assumir todos os valores reais, ao passarmos
para dentro do seno, o resultado sempre estará entre -1 e 1.
Passo 4
Vamos pensar na composição
. Sempre que
aumentar ou diminuir muito, o seno vai “limitar” esse valor dentro do intervalo de -1 a 1. No gráfico, isso faz com que a função
oscile entre esses valores, mesmo que
tenha picos altos ou baixos.
Passo 5
Para esboçar o gráfico:
- Marque as assíntotas verticais de
em . - Entre duas assíntotas, a tangente passa de
a , então o seno dessa tangente vai oscilar de -1 a 1 de forma periódica. - O gráfico de
terá uma forma oscilante dentro de cada intervalo entre as assíntotas da tangente, sem ultrapassar os valores -1 e 1.
Resposta
O gráfico de
consiste em ondas oscilantes que variam entre -1 e 1 em cada intervalo aberto entre as assíntotas verticais de
em
, para todo inteiro
. Essas oscilações se repetem periodicamente, criando um padrão contínuo de ondas limitadas dentro de cada segmento delimitado pelas assíntotas da tangente.
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Descreva o gráfico das seguintes funções.
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Calcule
, onde a função
é definida por
. Esta função é contínua em
?
Seja
e seja
.
Escreva uma expressão para .
Escreva uma expressão para