Calcule lim x 0 raiz3 raizx 2^sen(1x^4)+14+raiz2 sen(4 x)x.
a. 12 raiz2
b. 0
c. 4 raiz2
d. raiz23
e. raiz32

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse limite juntos. O exercício pede para calcular:
limx 0 raiz3 raizx cdot 2^sin(1x^4) + 14 + raiz2 cdot sin(4x)x
Vamos usar conceitos de limites, funções trigonométricas e propriedades de potências para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o limite em duas partes para facilitar:
limx 0 raiz3 raizx cdot 2^sin(1x^4) + 14 + limx 0 raiz2 cdot sin(4x)x

Passo 3

Vamos analisar a primeira parte:
raiz3 cdot raizx cdot 2^sin(1x^4) + 14
Sabemos que sin(1x^4) oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de x. Portanto, 2^sin(1x^4) oscila entre 2^-1 = 12 e 2^1 = 2.
Isso significa que:
2^sin(1x^4) + 14 = 2^sin(1x^4) cdot 2^14
Então, o termo x cdot 2^sin(1x^4) + 14 fica entre x cdot 2^14 cdot 12 e x cdot 2^14 cdot 2. Como x tende a 0, esse produto também tende a 0.
Portanto:
raiz3 cdot raizx cdot 2^sin(1x^4) + 14 0 quando x 0

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte:
raiz2 cdot sin(4x)x
Conhecemos uma regra de limites importante:
limx 0 sin(kx)x = k
Aplicando essa regra aqui, temos k = 4, então:
limx 0 sin(4x)x = 4
Multiplicando pelo raiz2:
limx 0 raiz2 cdot sin(4x)x = raiz2 cdot 4 = 4raiz2

Resposta

A resposta correta é a alternativa c. .

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