Determine c de modo que o limite lim x 9 5(x-4)(-c+x+165)4^x-9-1 exista. Para esse valor de c calcule este limite. O valor do limite anterior será:
a. 65ln (4)
b. 65
c. 25ln (4)
d. 615
e. 254

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o valor de lim x 9 5(x-4)(-c + x + 165)4^x-9-1 de modo que o limite abaixo exista:
Estamos lidando com limites que envolvem exponenciais e precisamos garantir que o limite exista. Para isso, vamos precisar usar o Regra de L’Hôpital, que ajuda a resolver limites do tipo ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos Numerador = 5(9-4)(-c + 9 + 165) = 5 times 5 times (-c + 9 + 3.2) = 25 times (12.2 - c) na expressão:
Denominador = 4^9-9 - 1 = 4^0 - 1 = 1 - 1 = 0
25 times (12.2 - c) = 0 implies 12.2 - c = 0 implies c = 12.2
O denominador tende a 0. Para o limite existir, o numerador também deve tender a 0. Então, igualamos o numerador a 0 para encontrar :
Convertendo para fração, temos .

Passo 3

Agora que encontramos lim x 9 5(x-4)(-615 + x + 165)4^x-9-1 , vamos calcular o limite. Substituindo -615 + x + 165 = x - 455 = x - 9 na expressão original:
lim x 9 5(x-4)(x-9)4^x-9-1
Simplificando o numerador:
Então, o limite fica:

Passo 4

Percebemos que, ao substituir limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) se o limite existir , tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando uma indeterminação do tipo f(x) = 5(x-4)(x-9) implies f'(x) = 5[(x-4) + (x-9)] = 5(2x - 13) . Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que:
g(x) = 4^x-9 - 1 implies g'(x) = 4^x-9 ln(4)
Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a :
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
lim x 9 5(2x - 13)4^x-9 ln(4)
Substituindo 5(2 times 9 - 13)4^0 ln(4) = 5(18 - 13)1 times ln(4) = 5 times 5ln(4) = 25ln(4) :

Resposta

A resposta correta é a alternativa c. .

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