Determine
de modo que o limite
exista. Para esse valor de
calcule este limite.
valor do limite anterior será:
a.
b. 65
c.
d.
e.
a.
b. 65
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o valor de
de modo que o limite abaixo exista:
Estamos lidando com limites que envolvem exponenciais e precisamos garantir que o limite exista. Para isso, vamos precisar usar o Regra de L’Hôpital, que ajuda a resolver limites do tipo
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
na expressão:
O denominador tende a 0. Para o limite existir, o numerador também deve tender a 0. Então, igualamos o numerador a 0 para encontrar
:
Convertendo
para fração, temos
.
Passo 3
Agora que encontramos
, vamos calcular o limite. Substituindo
na expressão original:
Simplificando o numerador:
Então, o limite fica:
Passo 4
Percebemos que, ao substituir
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando uma indeterminação do tipo
. Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que:
Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Substituindo
:
Resposta
A resposta correta é a alternativa c.
.