Determine o valor de c de modo que a função f(x) = { x csc(c x) ; x < 0 , 7 c - 5 ; x ≥ 0 } seja contínua em x = 0. Escolha uma opção:
a. 8/3
b. 1/14 * (5 + raiz(53))
c. -2
d. (1/2) * (1 - raiz(21))
e. 1/14 * (1 - raiz(141))

Passo 1

Vamos analisar o enunciado. Queremos encontrar o valor de que torna a função contínua em . A função é definida de forma diferente para e . Para garantir a continuidade, o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ao valor da função em . Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ). Para , a função é . Lembrando que , temos:

Passo 3

Usando a regra de limites conhecido que , fazemos uma substituição :

Passo 4

Agora, vamos considerar o limite pela direita ( ). Para , a função é constante: . Portanto:

Passo 5

Para a função ser contínua em , devemos ter:
Substituindo os limites calculados:

Passo 6

Vamos resolver a equação . Multiplicando ambos os lados por (considerando que ):
Rearranjando:

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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