Calcule:
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
Passo 1
Vamos resolver os limites propostos que envolvem funções com raízes e frações. O conteúdo principal aqui é o cálculo de limites, que é fundamental no estudo de cálculo diferencial e integral. Para resolver esses tipos de limites, vamos precisar aplicar técnicas como racionalização, regra de L’Hôpital e propriedades de limites de funções conhecidas.
Passo 2
Parte (a)
Calcular:
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela conjugada do numerador.
Passo 3
Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada de
, que é
:
Passo 4
Simplificamos o numerador:
Agora podemos substituir
:
Passo 5
Parte (b)
Calcular:
Aqui, usaremos a regra de L’Hôpital, já que ao substituir
, obtemos uma forma indeterminada
.
Passo 6
Aplicamos a regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
Passo 7
Parte ©
Calcular:
Novamente, aplicamos a regra de L’Hôpital devido à forma indeterminada
.
Passo 8
Derivamos o numerador e o denominador:
Passo 9
Parte (d)
Calcular:
Vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela conjugada.
Passo 10
Multiplicamos pelo conjugado
:
Substituindo
:
Passo 11
Parte (e)
Calcular:
Aqui, aplicaremos o limite de cada função individualmente.
Passo 12
Calculamos cada termo:
Somando os resultados:
Passo 13
Parte (f)
Calcular:
Vamos simplificar a expressão e então calcular o limite.
Passo 14
Primeiro, fatoramos o denominador:
Reescrevemos a expressão:
Agora, substituímos
:
Resposta
As soluções dos limites são:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)