Calcule:
(a) lim x 3 raizx-raiz3x-3
(d) lim x 1 raizx-1x-1
(b) lim x 3 raiz[3]x-raiz[3]3x-3
(e) lim x 0[-raizx+e^x1+x+sin (x) cos (x)]
© lim x 2 raiz[4]x-raiz[4]2x-2
(f) lim x 2(1x-2-4x^2-4)

Passo 1

Vamos resolver os limites propostos que envolvem funções com raízes e frações. O conteúdo principal aqui é o cálculo de limites, que é fundamental no estudo de cálculo diferencial e integral. Para resolver esses tipos de limites, vamos precisar aplicar técnicas como racionalização, regra de L’Hôpital e propriedades de limites de funções conhecidas.

Passo 2

Parte (a)

Calcular:
lim x 3 raizx-raiz3x-3
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela conjugada do numerador.

Passo 3

Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada de raizx-raiz3x-3 times raizx+raiz3raizx+raiz3 = (raizx)^2 - (raiz3)^2(x-3)(raizx+raiz3) , que é :

Passo 4

Simplificamos o numerador:
x - 3(x-3)(raizx+raiz3) = 1raizx + raiz3
Agora podemos substituir 1raiz3 + raiz3 = 12raiz3 = raiz36 :

Passo 5

Parte (b)

Calcular:
lim x 3 raiz[3]x-raiz[3]3x-3
Aqui, usaremos a regra de L’Hôpital, já que ao substituir , obtemos uma forma indeterminada .

Passo 6

Aplicamos a regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
lim x 3 ddx raiz[3]xddx (x - 3) = lim x 3 13x^-2/31 = 13 times 3^-2/3
= 13 times raiz[3]9 = raiz[3]927

Passo 7

Parte ©

Calcular:
lim x 2 raiz[4]x-raiz[4]2x-2
Novamente, aplicamos a regra de L’Hôpital devido à forma indeterminada .

Passo 8

Derivamos o numerador e o denominador:
lim x 2 ddx raiz[4]xddx (x - 2) = lim x 2 14x^-3/41 = 14 times 2^-3/4
= 14 times raiz[4]8 = raiz[4]832

Passo 9

Parte (d)

Calcular:
lim x 1 raizx-1x-1
Vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela conjugada.

Passo 10

Multiplicamos pelo conjugado raizx-1x-1 times raizx+1raizx+1 = x - 1(x-1)(raizx+1) = 1raizx + 1 :
11 + 1 = 12
Substituindo :

Passo 11

Parte (e)

Calcular:
lim x 0[-raizx+e^x1+x+sin (x) cos (x)]
Aqui, aplicaremos o limite de cada função individualmente.

Passo 12

Calculamos cada termo:
limx to 0 -raizx = 0
limx to 0 e^x1+x = 11 = 1
limx to 0 sin(x) cos(x) = 0 times 1 = 0
Somando os resultados:
0 + 1 + 0 = 1

Passo 13

Parte (f)

Calcular:
lim x 2(1x-2-4x^2-4)
Vamos simplificar a expressão e então calcular o limite.

Passo 14

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Reescrevemos a expressão:
1x - 2 - 4(x - 2)(x + 2) = (x + 2) - 4(x - 2)(x + 2) = x - 2(x - 2)(x + 2) = 1x + 2
Agora, substituímos 12 + 2 = 14 :

Resposta

As soluções dos limites são:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)

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