Encontre o volume do sólido
limitado pelos planos
e pelo cilindro parabólico
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um sólido
que está limitado pelos planos
,
,
e pelo cilindro parabólico
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais tripas, que nos ajudam a calcular volumes em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar os limites de integração para cada variável
,
e
.
- Para
: Os planos e indicam que varia de 0 a 4. - Para
: O plano e o cilindro mostram que varia de 0 a . - Para
: Para que seja não negativo ( ), a equação implica que , ou seja, varia de -2 a 2.
Passo 3
Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla que representa o volume
do sólido:
Aqui, estamos integrando na ordem de
, depois
e, por fim,
.
Passo 4
Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 5
Em seguida, resolvemos a integral em relação a
:
Agora, a integral simplificada é:
Passo 6
Finalmente, resolvemos a integral em relação a
:
Somando os dois resultados:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Verifique se cada uma das funções abaixo são inversíveis em seus respectivos domínios e em caso afirmativo, determine a função inversa.
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(a)
(d)
(b)
(e)
©
Determine o domínio das seguintes funções:
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(h)
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(h)
Calcule:
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
Expresse a quantidade dada como um único logaritmo: