Encontre o volume do sólido limitado pelos planos e pelo cilindro parabólico .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um sólido que está limitado pelos planos , , e pelo cilindro parabólico . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais tripas, que nos ajudam a calcular volumes em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar os limites de integração para cada variável , e .
  • Para : Os planos e indicam que varia de 0 a 4.
  • Para : O plano e o cilindro mostram que varia de 0 a .
  • Para : Para que seja não negativo ( ), a equação implica que , ou seja, varia de -2 a 2.

Passo 3

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla que representa o volume do sólido:
Aqui, estamos integrando na ordem de , depois e, por fim, .

Passo 4

Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 5

Em seguida, resolvemos a integral em relação a :
Agora, a integral simplificada é:

Passo 6

Finalmente, resolvemos a integral em relação a :
Somando os dois resultados:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Verifique se cada uma das funções abaixo são inversíveis em seus respectivos domínios e em caso afirmativo, determine a função inversa.
(a)
(d)
(b)
(e)
©
Determine o domínio das seguintes funções:
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(h)
Calcule:
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
Expresse a quantidade dada como um único logaritmo: