Esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função . Vamos trabalhar com a função arcocotangente ( ), que é a função inversa da cotangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta e como as transformações dentro e fora da função afetam o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função . A função arcocotangente retorna o ângulo cujo valor de cotangente é . O domínio de é todos os números reais, e seu contradomínio (os possíveis valores de saída) é geralmente .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Aqui, temos duas transformações:
  1. : Isso afeta a forma como a função responde em relação a . Dividir por 2 é uma escala horizontal que estica a função.
  2. Multiplicar por 2: Isso é uma escala vertical que amplia a amplitude da função.

Passo 4

Vamos identificar os pontos chave do gráfico:
  • Intercepto com o eixo y: Para encontrar quando :
    Então, o gráfico cruza o eixo y no ponto .
  • Assíntotas: Como se aproxima de 0 quando e de quando , aplicando as transformações:
    Então, as assíntotas horizontais são e .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função:
  • Quando aumenta de 0 para : diminui de para 0, então diminui de para 0.
  • Quando diminui de 0 para : aumenta de para , então aumenta de para .

Passo 6

Com base nisso, podemos esboçar o gráfico:
  • Começa no ponto .
  • À medida que vai para a direita, o gráfico desce suavemente em direção à ass��ntota .
  • À medida que vai para a esquerda, o gráfico sobe suavemente em direção à assíntota .
  • O gráfico é contínuo e sempre está entre e .

Resposta

O gráfico da função é uma curva contínua que passa pelo ponto , se aproxima da linha horizontal quando vai para e da linha quando vai para . A função diminui de para 0 conforme aumenta e aumenta de para conforme diminui.

Exercícios relacionados

Expresse a quantidade dada como um único logaritmo:
Calcule:
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
Considere a função dada por
Mostre que:
(a) e existem.
(b) e não são contínuas em .
© é diferenciável em .
Considere a seguinte definição:
Definição: Diremos que uma reta r é uma assíntota do gráfico de uma função quando o gráfico de arbitrariamente próximo de r a medida que ou . São três tipos de assíntota:
  • a reta é uma assíntota horizontal:
  • a reta é uma assíntota vertical:
  • a reta é uma assíntota oblíqua(inclinada):
    Encontre quaisquer assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função
    (a)
    (b)