Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Então, o enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Vamos trabalhar com a função arcocotangente (
), que é a função inversa da cotangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função
se comporta e como as transformações dentro e fora da função afetam o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função
. A função arcocotangente retorna o ângulo cujo valor de cotangente é
. O domínio de
é todos os números reais, e seu contradomínio (os possíveis valores de saída) é geralmente
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Aqui, temos duas transformações:
-
: Isso afeta a forma como a função responde em relação a . Dividir por 2 é uma escala horizontal que estica a função. - Multiplicar por 2: Isso é uma escala vertical que amplia a amplitude da função.
Passo 4
Vamos identificar os pontos chave do gráfico:
-
Intercepto com o eixo y: Para encontrar quando
: Então, o gráfico cruza o eixo y no ponto. -
Assíntotas: Como
se aproxima de 0 quando e de quando , aplicando as transformações: Então, as assíntotas horizontais sãoe .
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função:
- Quando
aumenta de 0 para : diminui de para 0, então diminui de para 0. - Quando
diminui de 0 para : aumenta de para , então aumenta de para .
Passo 6
Com base nisso, podemos esboçar o gráfico:
- Começa no ponto
. - À medida que
vai para a direita, o gráfico desce suavemente em direção à ass��ntota . - À medida que
vai para a esquerda, o gráfico sobe suavemente em direção à assíntota . - O gráfico é contínuo e sempre está entre
e .
Resposta
O gráfico da função
é uma curva contínua que passa pelo ponto
, se aproxima da linha horizontal
quando
vai para
e da linha
quando
vai para
. A função diminui de
para 0 conforme
aumenta e aumenta de
para
conforme
diminui.
Exercícios relacionados
Expresse a quantidade dada como um único logaritmo:
Calcule:
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
Considere a função
dada por
Mostre que:
(a) e
existem.
(b) e
não são contínuas em
.
© é diferenciável em
.
(a)
(b)
©
Considere a seguinte definição:
Definição: Diremos que uma reta r é uma assíntota do gráfico de uma função quando o gráfico de
arbitrariamente próximo de r a medida que
ou
. São três tipos de assíntota:
Definição: Diremos que uma reta r é uma assíntota do gráfico de uma função
- a reta
é uma assíntota horizontal: - a reta
é uma assíntota vertical: - a reta
é uma assíntota oblíqua(inclinada):
Encontre quaisquer assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função
(a)
(b)