Calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h sendo f dada por
(b) f(x)=2 x^2+x

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite para a função . Esse limite é a definição de derivada na matemática, que nos ajuda a entender a taxa de variação da função em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de álgebra básicas e entender como manipular expressões com limites.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(x+h) = 2(x+h)^2 + (x+h) e na expressão do limite. Sabemos que , então:
Vamos expandir essa expressão.

Passo 3

Expandindo 2(x+h)^2 = 2(x^2 + 2xh + h^2) = 2x^2 + 4xh + 2h^2 :
f(x+h) = 2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h
E a parte já está pronta. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular f(x+h) - f(x) = (2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h) - (2x^2 + x) :
f(x+h) - f(x) = 4xh + 2h^2 + h
Vamos simplificar essa expressão cancelando os termos iguais:

Passo 5

Agora, substituímos essa diferença na expressão original do limite:
limh 0 4xh + 2h^2 + hh
Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador por limh 0 (4x + 2h + 1) :

Passo 6

Agora, quando 4x + 0 + 1 = 4x + 1 tende a 0, os termos que contêm desaparecem (se tornam 0):

Resposta

f'(x) = 4x + 1

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