(2,0) Mostre que o limite
lim (x, y) (0,0) x y^4x^2+y^8
não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite
lim (x, y) (0,0) x y^4x^2+y^8
não existe. Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis, então vamos precisar entender como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para que o limite exista, o resultado deve ser o mesmo independentemente do caminho que escolhemos para (x, y) se aproximar de (0,0). Então, se encontrarmos dois caminhos que dão resultados diferentes, isso já mostra que o limite não existe.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para aproximar (0,0) e calcular o limite ao longo de cada um deles.
Primeiro caminho: Vamos deixar y = 0. Assim, a função fica:
x cdot 0^4x^2+0^8 = 0x^2 = 0
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.

Passo 4

Segundo caminho: Agora, vamos escolher x = y^4. Substituindo na função:
y^4 cdot y^4(y^4)^2+y^8 = y^8y^8 + y^8 = y^82y^8 = 12
Então, ao longo desse caminho, o limite é 12.

Passo 5

Como ao longo do caminho y = 0 o limite é 0 e ao longo do caminho x = y^4 o limite é 12, temos que os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido para (x, y) se aproximar de (0,0).

Resposta

Portanto, o limite
lim (x, y) (0,0) x y^4x^2+y^8
não existe.

Exercícios relacionados