Mostre que o limite
não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe. Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis, então vamos precisar entender como a função se comporta quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para que o limite exista, o resultado deve ser o mesmo independentemente do caminho que escolhemos para
se aproximar de
. Então, se encontrarmos dois caminhos que dão resultados diferentes, isso já mostra que o limite não existe.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para aproximar
e calcular o limite ao longo de cada um deles.
Primeiro caminho: Vamos deixar
. Assim, a função fica:
Então, ao longo desse caminho, o limite é
.
Passo 4
Segundo caminho: Agora, vamos escolher
. Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é
.
Passo 5
Como ao longo do caminho
o limite é
e ao longo do caminho
o limite é
, temos que os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido para
se aproximar de
.
Resposta
Portanto, o limite
não existe.