Considere o campo vetorial
(a) Mostre que F é conservativo.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa mostrar que o campo vetorial é conservativo. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo vetorial, especificamente campos conservativos. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial, ou seja, se existir uma função tal que . Para verificar isso, a gente vai precisar calcular o rotacional de e mostrar que ele é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por , nos diz se o campo possui alguma “rodagem”. Se o rotacional for zero em todo lugar, isso é um indicativo de que o campo é conservativo. Para calcular o rotacional em 3 dimensões, usamos a seguinte fórmula:
Vamos aplicar isso ao nosso campo .
Passo 3
Vamos identificar , e .
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
Componente :
Componente :
Componente :
Passo 4
Como vimos, todas as componentes do rotacional são zero:
Isso significa que o rotacional de é zero em todo lugar.
Resposta
Como o rotacional de é zero, o campo vetorial é conservativo.