2,5 Considere o campo vetorial F(x, y, z) = 6xy^3 i + 9x^2y^2 j + (4z + 1) k
(a) Mostre que F é conservativo.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa mostrar que o campo vetorial é conservativo. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo vetorial, especificamente campos conservativos. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial, ou seja, se existir uma função tal que . Para verificar isso, a gente vai precisar calcular o rotacional de e mostrar que ele é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por , nos diz se o campo possui alguma “rodagem”. Se o rotacional for zero em todo lugar, isso é um indicativo de que o campo é conservativo. Para calcular o rotacional em 3 dimensões, usamos a seguinte fórmula:
Vamos aplicar isso ao nosso campo .

Passo 3

Vamos identificar , e .
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Passo 4

Como vimos, todas as componentes do rotacional são zero:
Isso significa que o rotacional de é zero em todo lugar.

Resposta

Como o rotacional de é zero, o campo vetorial é conservativo.

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Resolve as seguintes edo(l) x y' + (1 + y^2) arctan(y) = 0
Calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h sendo f dada por
(b) f(x)=2 x^2+x
Considere a seguinte função:
f(x) = raiz(x + 4) / (x^2 - x - 2)
Para quais valores de x a função assume valores negativos? E positivos? E iguais a zero?
2,5 Considere o campo vetorial F(x, y, z) = 6xy^3 i + 9x^2y^2 j + (4z + 1) k
(b) Ache um potencial para o campo F.