Resolve as seguintes edo(l) x y' + (1 + y^2) arctan(y) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Aqui, estamos trabalhando com EDOs de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e substituição, que nos ajudarão a isolar e e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação. Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso nos dá uma expressão para a derivada de em termos de e .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação de forma a separar as variáveis e . Podemos fazer isso da seguinte maneira:
Assim, conseguimos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro lado.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral fica assim:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Começando pela integral à esquerda, fazemos uma substituição para simplificar. Seja , então:
Substituindo na integral:

Passo 6

A integral à direita é mais simples:

Passo 7

Agora, igualamos as duas expressões integradas:
Podemos combinar os logaritmos:
Isso simplifica para:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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