Resolve as seguintes edo(l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Aqui, estamos trabalhando com EDOs de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e substituição, que nos ajudarão a isolar
e
e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Isso nos dá uma expressão para a derivada de
em termos de
e
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação de forma a separar as variáveis
e
. Podemos fazer isso da seguinte maneira:
Assim, conseguimos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral fica assim:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
Começando pela integral à esquerda, fazemos uma substituição para simplificar. Seja
, então:
Substituindo na integral:
Passo 6
A integral à direita é mais simples:
Passo 7
Agora, igualamos as duas expressões integradas:
Podemos combinar os logaritmos:
Isso simplifica para:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.