Calcule lim t 0 r(t) para r(t)=(t^2-t, cos (t^3), e^t^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de uma função vetorial quando se aproxima de 0. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites e Funções Vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites de cada componente da função vetorial separadamente.

Passo 2

A função vetorial dada é . Isso significa que ela tem três componentes: a primeira é , a segunda é e a terceira é .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente limt to 0 (t^2 - t) = 0^2 - 0 = 0 quando se aproxima de 0. Sabemos que para polinômios, o limite é simplesmente substituindo por 0:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente limt to 0 cos(t^3) = cos(0^3) = cos(0) = 1 . A função cosseno é contínua em todos os pontos, o que significa que podemos calcular o limite diretamente substituindo por 0:

Passo 5

Por fim, a terceira componente é limt to 0 e^t^2 = e^0^2 = e^0 = 1 . A função exponencial também é contínua, então novamente substituímos por 0:

Resposta

Portanto, o limite de limt to 0 r(t) = (0, 1, 1) quando tende a 0 é:

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