Calcule lim t 0 r(t) onde r(t)=(t sin (t), raizt+1-1, t^4).

Passo 1

Vamos calcular o limite de uma função vetorial r(t) quando t se aproxima de 0. A função dada é r(t) = (t sin (t), raizt+1-1, t^4). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções reais e aplicar esses conhecimentos a cada componente da função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: t sin(t). Sabemos que sin(t) tende a 0 quando t tende a 0. Além disso, multiplicar por t (que também tende a 0) faz com que todo o termo t sin(t) também tenda a 0. Portanto:
limt to 0 t sin(t) = 0

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: raizt+1 - 1. Para encontrar esse limite, podemos usar a expansão binomial ou racionalizar a expressão. Sabemos que quando t tende a 0, raizt+1 tende a raiz1 = 1. Então:
limt to 0 (raizt+1 - 1) = 1 - 1 = 0

Passo 4

Por fim, temos a terceira componente: t^4. Como t está se aproximando de 0, qualquer potência de t também tende a 0. Portanto:
limt to 0 t^4 = 0

Resposta

O limite da função vetorial é:
lim t 0 r(t) = (0, 0, 0)

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