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- Seja
.
(a) Determine se
é convergente.
(b) Determine se
é convergente.
(a) Determine se
(b) Determine se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos a sequência
e duas perguntas:
a) Verificar se a sequência
é convergente.
b) Verificar se a série
é convergente.
Vamos precisar entender o que significa uma sequência e uma série serem convergentes e aplicar alguns testes para determinar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convergência de uma sequência. Uma sequência
converge para um número
se, à medida que
cresce, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de
. Matematicamente, isso significa que:
Então, para o item (a), precisamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
. Para facilitar, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Então, a sequência
tende a
quando
cresce.
Passo 4
Agora, vamos para o item (b). Queremos saber se a série
é convergente. Uma série converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando o número de termos cresce ao infinito.
Um teste simples para verificar a convergência de séries é o Teste da Divergência, que diz que se
, então a série
não converge.
Passo 5
No nosso caso, já vimos que:
De acordo com o Teste da Divergência, como o limite dos termos não é zero, a série
não converge.
Resposta
a) A sequência
é convergente e seu limite é
.
b) A série
não converge.