1. sumn=1^infty 2 n^2-1n^2+1
  2. sumn=1^infty tg n
  3. sumn=1^infty(0,6)^n-1
  4. sumn=2^infty 1n(n+2)
  5. Seja an=2 n3 n+1.
    (a) Determine se an é convergente.
    (b) Determine se sumn=1^infty an é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos a sequência e duas perguntas:
a) Verificar se a sequência é convergente.
b) Verificar se a série é convergente.
Vamos precisar entender o que significa uma sequência e uma série serem convergentes e aplicar alguns testes para determinar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência de uma sequência. Uma sequência limn to infty an = L converge para um número se, à medida que cresce, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de . Matematicamente, isso significa que:
Então, para o item (a), precisamos calcular o limite de quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular o limite de limn to infty 2n3n + 1 = limn to infty 23 + 1n = 23 + 0 = 23 quando . Para facilitar, podemos dividir o numerador e o denominador por :
Então, a sequência tende a quando cresce.

Passo 4

Agora, vamos para o item (b). Queremos saber se a série é convergente. Uma série converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando o número de termos cresce ao infinito.
Um teste simples para verificar a convergência de séries é o Teste da Divergência, que diz que se , então a série não converge.

Passo 5

No nosso caso, já vimos que:
limn to infty an = 23 neq 0
De acordo com o Teste da Divergência, como o limite dos termos não é zero, a série não converge.

Resposta

a) A sequência é convergente e seu limite é .
b) A série não converge.

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