Calcule lim t t0 f(t) sabendo que: f(t)=(t-4 t^2) i+t j+1 / t k e t +infty.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular o limite da função vetorial f(t) quando t tende a +infty. A função é dada por:
f(t) = (t - 4 t^2) i + t j + 1t k
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular limites de funções escalares e aplicar isso a cada componente da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em suas componentes:
  1. Componente i: t - 4 t^2
  2. Componente j: t
  3. Componente k: 1t
Vamos calcular o limite de cada uma dessas componentes individualmente quando t tende a +infty.

Passo 3

Calculando o limite de cada componente:
  1. Componente i:
    limt +infty (t - 4 t^2)
    Aqui, o termo -4 t^2 cresce mais rápido que t, então o limite é -infty.
  2. Componente j:
    limt +infty t = +infty
    Esse limite é simplesmente +infty.
  3. Componente k:
    limt +infty 1t = 0
    Como t está no denominador e tende a +infty, o limite é 0.

Passo 4

Agora, juntando os limites de cada componente, temos:
limt +infty f(t) = -infty i + infty j + 0 k
Isso significa que, enquanto uma componente tende a -infty, outra tende a +infty, e a terceira tende a 0.

Resposta

O limite da função vetorial f(t) quando t tende a +infty é -infty i + infty j + 0 k. Ou seja, a função não possui um limite finito nesse ponto.

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