Dadas as funções vetoriais
e a função real , determinar:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções vetoriais, e , além de uma função real . A questão pede para a gente encontrar o produto escalar . Então, vamos precisar lembrar como fazer multiplicação de uma função escalar com uma função vetorial e depois calcular o produto escalar entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar a função real pela função vetorial . Quando a gente multiplica uma função escalar por uma função vetorial, a gente multiplica o escalar por cada componente do vetor. Assim:

Passo 3

Vamos distribuir em cada componente de :
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre e . O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aqui:
Note que não tem componente , então o último termo é zero.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Somando tudo:

Resposta

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e a função real , determinar:
Determine o volume do sólido limitado pela superfície e pelos planos .
Calcule sabendo que: .