Calcule: lim x 0 1sen x-1tan x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos . Aqui, estamos lidando com Cálculo de Limites e vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e propriedades dos limites para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que temos. Queremos juntar as duas frações em uma só para facilitar o cálculo. Temos:
1sin x - 1tan x
Sabendo que 1tan x = cos xsin x , podemos reescrever a segunda fração:
1sin x - cos xsin x = 1 - cos xsin x
Então, substituindo na expressão original:
Agora, a expressão ficou mais simples: .

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite dessa nova expressão quando limx to 0 1 - cos xsin x se aproxima de 0:
1 - cos x approx x^22
Sabemos que, quando 1 - cos xsin x approx x^22x = x2 é próximo de 0, pode ser aproximado por (usando a expansão em série de Taylor para ). Então:
Também sabemos que quando é próximo de 0. Substituindo essas aproximações na expressão do limite:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa aproximação:
limx to 0 x2 = 02 = 0
Portanto, o limite original também será 0.

Resposta

O limite é igual a .

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