Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos
. Aqui, estamos lidando com Cálculo de Limites e vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e propriedades dos limites para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão que temos. Queremos juntar as duas frações em uma só para facilitar o cálculo. Temos:
Sabendo que
, podemos reescrever a segunda fração:
Então, substituindo na expressão original:
Agora, a expressão ficou mais simples:
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite dessa nova expressão quando
se aproxima de 0:
Sabemos que, quando
é próximo de 0,
pode ser aproximado por
(usando a expansão em série de Taylor para
). Então:
Também sabemos que
quando
é próximo de 0. Substituindo essas aproximações na expressão do limite:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa aproximação:
Portanto, o limite original também será 0.
Resposta
O limite é igual a
.