Calcule os limites, se existirem. Caso não existirem, justifique. lim x 0 raiz2+x-raiz2x

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0 raiz2+x-raiz2x. Estamos trabalhando com limites que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de racionalização para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador, que é raiz2+x + raiz2. Isso ajuda a eliminar a raiz quadrada no numerador.

Passo 3

Multiplicando, temos:
raiz2+x-raiz2x times raiz2+x+raiz2raiz2+x+raiz2 = (2+x) - 2x(raiz2+x+raiz2)

Passo 4

Simplificando o numerador:
(2 + x) - 2 = x
Portanto, a expressão fica:
xx(raiz2+x+raiz2)

Passo 5

Cancelando o x no numerador e denominador:
1raiz2+x + raiz2

Passo 6

Agora, podemos substituir x por 0 na expressão simplificada:
1raiz2+0 + raiz2 = 1raiz2 + raiz2 = 12raiz2

Resposta

O limite é 12raiz2.

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