Determine, se existirem, as assíntotas verticais e horizontais das funções a seguir. f(x)=(x+9)/(x^2-81)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar se existem assíntotas verticais e horizontais para a função . Pra resolver isso, precisamos entender o que são assíntotas. Assíntotas verticais acontecem onde a função “explode”, ou seja, onde o denominador é zero. Já as assíntotas horizontais estão relacionadas ao comportamento da função quando vai para mais ou menos infinito. Vamos descobrir essas assíntotas passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Isso acontece quando o denominador da fração é igual a zero, porque aí a função não está definida. Então, vamos resolver a equação do denominador:
Resolvendo essa equação, temos:
Portanto, temos potenciais assíntotas verticais em e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essas possíveis assíntotas verticais são realmente assíntotas ou se são “buracos” na função (pontos onde a função está descontínua, mas sem “explodir”). Para isso, vamos ver se o numerador cancela algum fator do denominador.
A função dada é:
Aqui, vemos que o no numerador cancela com o no denominador. Isso significa que em , a função não tem uma assíntota vertical, mas sim um “buraco”. Logo, a única assíntota vertical é em .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, comparamos os graus do polinômio no numerador e no denominador.
  • O grau do numerador ( ) é 1.
  • O grau do denominador ( ) é 2.
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é . Isso significa que, conforme vai para mais ou menos infinito, a função se aproxima de zero.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

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