Determine, se existirem, as assíntotas verticais e horizontais das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar se existem assíntotas verticais e horizontais para a função
. Pra resolver isso, precisamos entender o que são assíntotas. Assíntotas verticais acontecem onde a função “explode”, ou seja, onde o denominador é zero. Já as assíntotas horizontais estão relacionadas ao comportamento da função quando
vai para mais ou menos infinito. Vamos descobrir essas assíntotas passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Isso acontece quando o denominador da fração é igual a zero, porque aí a função não está definida. Então, vamos resolver a equação do denominador:
Resolvendo essa equação, temos:
Portanto, temos potenciais assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essas possíveis assíntotas verticais são realmente assíntotas ou se são “buracos” na função (pontos onde a função está descontínua, mas sem “explodir”). Para isso, vamos ver se o numerador cancela algum fator do denominador.
A função dada é:
Aqui, vemos que o
no numerador cancela com o
no denominador. Isso significa que em
, a função não tem uma assíntota vertical, mas sim um “buraco”. Logo, a única assíntota vertical é em
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, comparamos os graus do polinômio no numerador e no denominador.
- O grau do numerador (
) é 1. - O grau do denominador (
) é 2.
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é
. Isso significa que, conforme
vai para mais ou menos infinito, a função se aproxima de zero.
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.