Calcule: lim x 0(1+x^2)^1x^2

Passo 1

Vamos calcular o limite lim x 0(1+x^2)^1x^2. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e manipulação de expressões exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando o logaritmo natural. Isso facilita o cálculo do limite quando lidamos com exponenciais. Vamos chamar o limite de L:
L = lim x 0(1+x^2)^1x^2
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
ln L = lim x 0 ln(1 + x^2)x^2

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite lim x 0 ln(1 + x^2)x^2. Para isso, vamos usar a expansão em série de Taylor do logaritmo para valores próximos a 0:
ln(1 + y) approx y - y^22 quando y to 0
Substituindo y = x^2 na expansão:
ln(1 + x^2) approx x^2 - x^42

Passo 4

Dividindo essa expressão por x^2:
ln(1 + x^2)x^2 approx x^2 - x^42x^2 = 1 - x^22

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando x to 0:
lim x 0 (1 - x^22) = 1
Portanto, ln L = 1.

Passo 6

Finalmente, para encontrar L, usamos a função exponencial, que é a inversa do logaritmo natural:
L = e^ln L = e^1 = e

Resposta

O limite é e.

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