Calcule:

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e manipulação de expressões exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando o logaritmo natural. Isso facilita o cálculo do limite quando lidamos com exponenciais. Vamos chamar o limite de :
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite . Para isso, vamos usar a expansão em série de Taylor do logaritmo para valores próximos a 0:
Substituindo na expansão:

Passo 4

Dividindo essa expressão por :

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando :
Portanto, .

Passo 6

Finalmente, para encontrar , usamos a função exponencial, que é a inversa do logaritmo natural:

Resposta

O limite é .

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Calcule: .
Mostre que a equação tem, pelo menos, uma raiz no intervalo .
Calcule: .
Calcule: .