Calcule: lim x infty(x+2x+1)^x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa limitação juntos! O enunciado pede para calcular:
limx to infty ( x + 2x + 1 )^x
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e o uso de logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite:
x + 2x + 1 = x(1 + 2x)x(1 + 1x) = 1 + 2x1 + 1x
Quando tende ao infinito, e tendem a zero. Então, a fração se aproxima de .

Passo 3

Agora, temos um limite da forma limx to infty (1 + cx)^x = e^c , onde tende a zero e tende ao infinito. Para resolver isso, usamos a propriedade:
Vamos reescrever nossa expressão nessa forma.

Passo 4

Primeiro, vamos aproximar a fração:
1 + 2x1 + 1x approx 1 + (2x - 1x) = 1 + 1x
Então, nossa expressão fica:
(1 + 1x)^x

Passo 5

Agora, aplicamos a propriedade mencionada no Passo 3:
limx to infty (1 + 1x)^x = e^1 = e

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados