Calcule: lim x 0 3^x+4-81x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 3^x+4-81x. Esse exercício é de cálculo, mais especificamente de limites que envolvem funções exponenciais. Para resolver, a gente vai precisar entender como manipular expressões exponenciais e aplicar o conceito de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador. A expressão 3^x+4 pode ser reescrita usando as propriedades das potências:
3^x+4 = 3^x cdot 3^4
Sabemos que 3^4 = 81, então:
3^x+4 = 81 cdot 3^x

Passo 3

Substituindo de volta na expressão original, temos:
3^x+4 - 81x = 81 cdot 3^x - 81x = 81 cdot 3^x - 1x
Agora, a gente foca no limite de 3^x - 1x quando x se aproxima de 0.

Passo 4

Sabemos que, para funções exponenciais, existe uma propriedade importante:
limx to 0 a^x - 1x = ln(a)
Onde a é a base da exponencial. No nosso caso, a = 3, então:
limx to 0 3^x - 1x = ln(3)

Passo 5

Voltando à nossa expressão original, multiplicamos esse resultado por 81:
81 cdot limx to 0 3^x - 1x = 81 cdot ln(3)

Resposta

O limite é 81 cdot ln(3).

Exercícios relacionados