Calcule :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite
. Isso envolve o conteúdo de limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar a propriedade dos limites que relaciona exponenciais e logaritmos naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão usando o logaritmo natural para facilitar o cálculo. Lembre-se que
. Então, temos:
Passo 3
Agora, nosso limite fica:
Como a função exponencial é contínua, podemos trocar o limite com a exponencial:
Passo 4
Vamos focar agora em calcular o limite dentro do expoente:
Esse limite é do tipo
, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se o limite é do tipo
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 5
Derivando o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, o limite passa a ser:
Passo 6
Voltando ao nosso limite original, temos:
Resposta
Exercícios relacionados
Decida para que valores de
a integral abaixo é convergente:
Seja
. Decida se
é derivável e em caso afirmativo calcule
.
Esboce o gráfico da função abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, intersecção com os eixos coordenados, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar. Escolha um ponto do gráfico e apresente a equação da reta tangente naquele ponto.
Defina precisamente o símbolo
.