Calcule : lim x 0^+(1+x)^3x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite . Isso envolve o conteúdo de limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar a propriedade dos limites que relaciona exponenciais e logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando o logaritmo natural para facilitar o cálculo. Lembre-se que (1 + x)^3x = e^3x ln(1 + x) . Então, temos:

Passo 3

Agora, nosso limite fica:
limx to 0^+ e^3x ln(1 + x)
Como a função exponencial é contínua, podemos trocar o limite com a exponencial:
e^limx to 0^+ 3x ln(1 + x)

Passo 4

Vamos focar agora em calcular o limite dentro do expoente:
limx to 0^+ 3 ln(1 + x)x
Esse limite é do tipo , então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se o limite é do tipo ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Derivando o numerador e o denominador:
  • Derivada de limx to 0^+ 31 + x = 31 + 0 = 3 em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, o limite passa a ser:

Passo 6

Voltando ao nosso limite original, temos:
e^limx to 0^+ 3x ln(1 + x) = e^3

Resposta

limx to 0^+ (1 + x)^3x = e^3

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