Calcule : lim x 0^+(1+x)^3x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite . Isso envolve o conteúdo de limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar a propriedade dos limites que relaciona exponenciais e logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando o logaritmo natural para facilitar o cálculo. Lembre-se que (1 + x)^3x = e^3x ln(1 + x) . Então, temos:

Passo 3

Agora, nosso limite fica:
limx to 0^+ e^3x ln(1 + x)
Como a função exponencial é contínua, podemos trocar o limite com a exponencial:
e^limx to 0^+ 3x ln(1 + x)

Passo 4

Vamos focar agora em calcular o limite dentro do expoente:
limx to 0^+ 3 ln(1 + x)x
Esse limite é do tipo , então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se o limite é do tipo ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Derivando o numerador e o denominador:
  • Derivada de limx to 0^+ 31 + x = 31 + 0 = 3 em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, o limite passa a ser:

Passo 6

Voltando ao nosso limite original, temos:
e^limx to 0^+ 3x ln(1 + x) = e^3

Resposta

limx to 0^+ (1 + x)^3x = e^3

Exercícios relacionados

Decida para que valores de alpha a integral abaixo é convergente:
integral0^+infty e^-alpha x d x
Seja F(x)=integral2^3^x t^4 cos (t^2) dt, x in R. Decida se F é derivável e em caso afirmativo calcule F^prime(x).
Esboce o gráfico da função abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, intersecção com os eixos coordenados, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar. Escolha um ponto do gráfico e apresente a equação da reta tangente naquele ponto.
f(x)=(x^4+1)/x^2
Defina precisamente o símbolo lim x p f(x)=+infty.