Seja
. Decida se
é derivável e em caso afirmativo calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar se a função
é derivável e, se for, calcular a sua derivada
. Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas de funções definidas por integrais, usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é definida como a integral de uma função
no intervalo de 2 até
. Nossa meta é descobrir se
pode ser diferenciada em relação a
e, se sim, encontrar essa derivada.
Passo 3
Para determinar a derivabilidade de
, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de
, sua derivada pode ser encontrada avaliando a função integranda nos limites e multiplicando pela derivada desses limites.
Passo 4
Mais especificamente, se
, então a derivada
é dada por:
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos calcular
. Substituindo
por
, temos:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a derivada de
. A derivada de uma função exponencial
é
. Então:
Passo 7
Finalmente, aplicando a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo:
Resposta
Sim, a função
é derivável e a sua derivada é:
Exercícios relacionados
Mostre, usando a definição, que
é contínua em
.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Decida para que valores de
a integral abaixo é convergente:
Calcule :