Seja F(x)=integral2^3^x t^4 cos (t^2) dt, x in R. Decida se F é derivável e em caso afirmativo calcule F^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar se a função é derivável e, se for, calcular a sua derivada . Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas de funções definidas por integrais, usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é definida como a integral de uma função no intervalo de 2 até . Nossa meta é descobrir se pode ser diferenciada em relação a e, se sim, encontrar essa derivada.

Passo 3

Para determinar a derivabilidade de , usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de , sua derivada pode ser encontrada avaliando a função integranda nos limites e multiplicando pela derivada desses limites.

Passo 4

Mais especificamente, se F'(x) = f(g(x)) cdot g'(x) , então a derivada é dada por:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular f(g(x)) = (3^x)^4 cos( (3^x)^2 ) = 3^4x cos(3^2x) = 81^x cos(9^x) . Substituindo por , temos:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a derivada de g'(x) = 3^x ln(3) . A derivada de uma função exponencial é . Então:

Passo 7

Finalmente, aplicando a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo:
F'(x) = f(g(x)) cdot g'(x) = 81^x cos(9^x) cdot 3^x ln(3) = 81^x cdot 3^x cos(9^x) ln(3)

Resposta

Sim, a função F'(x) = 81^x cdot 3^x cos(9^x) ln(3) é derivável e a sua derivada é:

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Mostre, usando a definição, que f(x) = 2 x é contínua em x = 5.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
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Decida para que valores de alpha a integral abaixo é convergente:
integral0^+infty e^-alpha x d x
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