Decida para que valores de
a integral abaixo é convergente:
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que descobrir para quais valores de
a integral
converge. Isso está relacionado ao cálculo de integrais impróprias e envolve exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como a função exponencial se comporta e aplicar algumas regras básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando:
. Essa é uma função exponencial decrescente quando
. Isso significa que, conforme
aumenta,
se aproxima de zero. Se
for negativo, a função cresce sem limite, o que pode causar problemas na integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral. A antiderivada de
em relação a
é
. Então, aplicando os limites de integração de 0 a
, temos:
Passo 4
Vamos avaliar os limites:
-
Quando
: -
Quando
:
Passo 5
Subtraindo os valores dos limites:
Isso significa que a integral vale
, desde que
.
Resposta
A integral
é convergente para todos os valores de
maiores que zero, ou seja, para
, e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Seja
. Decida se
é derivável e em caso afirmativo calcule
.
Mostre, usando a definição, que
é contínua em
.
Calcule :
Esboce o gráfico da função abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, intersecção com os eixos coordenados, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar. Escolha um ponto do gráfico e apresente a equação da reta tangente naquele ponto.