Decida para que valores de alpha a integral abaixo é convergente:
integral0^+infty e^-alpha x d x

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que descobrir para quais valores de a integral converge. Isso está relacionado ao cálculo de integrais impróprias e envolve exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como a função exponencial se comporta e aplicar algumas regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Essa é uma função exponencial decrescente quando . Isso significa que, conforme aumenta, se aproxima de zero. Se for negativo, a função cresce sem limite, o que pode causar problemas na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral. A antiderivada de integral0^+infty e^-alpha x , dx = [-1alpha e^-alpha x]0^+infty em relação a é . Então, aplicando os limites de integração de 0 a , temos:

Passo 4

Vamos avaliar os limites:
  1. Quando -1alpha e^-alpha x to -1alpha times 0 = 0 (porque e^-alpha x to 0 se alpha > 0) :
    -1alpha e^0 = -1alpha times 1 = -1alpha
  2. Quando :

Passo 5

Subtraindo os valores dos limites:
0 - (-1alpha) = 1alpha
Isso significa que a integral vale , desde que .

Resposta

A integral é convergente para todos os valores de maiores que zero, ou seja, para , e seu valor é .

Exercícios relacionados