Esboce o gráfico da função abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, intersecção com os eixos coordenados, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar. Escolha um ponto do gráfico e apresente a equação da reta tangente naquele ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos analisar vários aspectos como domínio, crescimento, decrescimento, máximos e mínimos, assíntotas, concavidade, interseções com os eixos e, por fim, encontrar a equação da reta tangente em um ponto escolhido. Vamos usar conceitos de cálculo como derivadas para entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar nossos cálculos. Podemos reescrever
dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Observando a expressão
, vemos que há uma divisão por
. Portanto,
não pode ser zero, pois dividir por zero não é possível. Assim, o domínio é:
Passo 4
Vamos encontrar as interseções com os eixos.
-
Interseção com o eixo y: ocorre quando
. Porém, como não está no domínio, não há interseção com o eixo y. -
Interseções com o eixo x: são os pontos onde
. Vamos resolver:
O somatório de dois termos positivos nunca é zero, então não há interseções com o eixo x.
Passo 5
Vamos analisar os limites da função para identificar possíveis assíntotas e comportamento da função.
- Limite quando
tende a :
- Limite quando
tende a :
- Limite quando
tende a pela direita:
- Limite quando
tende a pela esquerda:
Esses limites indicam que não há assíntotas horizontais, mas há uma assíntota vertical em
, pois a função tende ao infinito quando
se aproxima de zero.
Passo 6
Vamos encontrar as derivadas para analisar o crescimento, decrescimento, máximos, mínimos e a concavidade da função.
Primeira derivada
:
Segunda derivada
:
Passo 7
Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento usando a primeira derivada
.
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de
:
Vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Portanto, temos pontos críticos em
e
.
Vamos testar intervalos para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo:
-
Para
: escolha : Então,está decrescendo nesse intervalo. -
Para
: escolha : está crescendo nesse intervalo. -
Para
: escolha : está decrescendo nesse intervalo. -
Para
: escolha : está crescendo nesse intervalo.
Passo 8
Vamos determinar os máximos e mínimos utilizando os pontos críticos encontrados (
e
).
Utilizando a primeira derivada:
-
Em
: Como a função passa de decrescente para crescente, temos um mínimo local em. -
Em
: A função passa de decrescente para crescente, o que também indica um mínimo local em.
Vamos calcular os valores de
nesses pontos:
Portanto, temos mínimos locais em
e
.
Passo 9
Agora, vamos analisar a concavidade da função usando a segunda derivada
.
O sinal de
nos informa sobre a concavidade:
Como a segunda derivada é sempre positiva, a função é côncava para cima em todo o seu domínio.
Passo 10
Vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
- Domínio:
- Interseções: Nenhuma com os eixos
- Assíntota vertical:
- Comportamento:
- Decrescente em
e - Crescente em
e
- Decrescente em
- Extremos:
- Mínimos locais em
e
- Mínimos locais em
- Concavidade: Côncava para cima em todo o domínio
- Limites:
-
Passo 11
Por fim, vamos escolher um ponto no gráfico e encontrar a equação da reta tangente nesse ponto. Vamos escolher o ponto
.
Primeiro, encontramos a derivada
em
:
A inclinação da reta tangente é
.
A equação da reta tangente tem a forma:
Substituindo os valores:
Resposta
O gráfico da função
possui domínio em todos os reais, exceto
. Não intercepta os eixos, tem uma assíntota vertical em
, é côncava para cima em todo o domínio, e apresenta mínimos locais nos pontos
e
. A função é decrescente nos intervalos
e
, e crescente em
e
. A reta tangente no ponto
é a reta horizontal
.
Exercícios relacionados
Calcule :
Decida para que valores de
a integral abaixo é convergente:
Defina precisamente o símbolo
.
Resolva duas e apenas duas das integrais abaixo, justificando todas as suas passagens.