Esboce o gráfico da função abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, intersecção com os eixos coordenados, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar. Escolha um ponto do gráfico e apresente a equação da reta tangente naquele ponto.
f(x)=(x^4+1)/x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos analisar vários aspectos como domínio, crescimento, decrescimento, máximos e mínimos, assíntotas, concavidade, interseções com os eixos e, por fim, encontrar a equação da reta tangente em um ponto escolhido. Vamos usar conceitos de cálculo como derivadas para entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar nossos cálculos. Podemos reescrever dividindo cada termo do numerador pelo denominador:

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Observando a expressão , vemos que há uma divisão por . Portanto, não pode ser zero, pois dividir por zero não é possível. Assim, o domínio é:

Passo 4

Vamos encontrar as interseções com os eixos.
  • Interseção com o eixo y: ocorre quando . Porém, como não está no domínio, não há interseção com o eixo y.
  • Interseções com o eixo x: são os pontos onde . Vamos resolver:
O somatório de dois termos positivos nunca é zero, então não há interseções com o eixo x.

Passo 5

Vamos analisar os limites da função para identificar possíveis assíntotas e comportamento da função.
  • Limite quando tende a :
  • Limite quando tende a :
  • Limite quando tende a pela direita:
  • Limite quando tende a pela esquerda:
Esses limites indicam que não há assíntotas horizontais, mas há uma assíntota vertical em , pois a função tende ao infinito quando se aproxima de zero.

Passo 6

Vamos encontrar as derivadas para analisar o crescimento, decrescimento, máximos, mínimos e a concavidade da função.
Primeira derivada :
Segunda derivada :

Passo 7

Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento usando a primeira derivada .
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de :
á
á
Vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Portanto, temos pontos críticos em e .
Vamos testar intervalos para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo:
  • Para : escolha :
    Então, está decrescendo nesse intervalo.
  • Para : escolha :
    está crescendo nesse intervalo.
  • Para : escolha :
    está decrescendo nesse intervalo.
  • Para : escolha :
    está crescendo nesse intervalo.

Passo 8

Vamos determinar os máximos e mínimos utilizando os pontos críticos encontrados ( e ).
Utilizando a primeira derivada:
  • Em :
    Como a função passa de decrescente para crescente, temos um mínimo local em .
  • Em :
    A função passa de decrescente para crescente, o que também indica um mínimo local em .
Vamos calcular os valores de nesses pontos:
Portanto, temos mínimos locais em e .

Passo 9

Agora, vamos analisar a concavidade da função usando a segunda derivada .
O sinal de nos informa sobre a concavidade:
Como a segunda derivada é sempre positiva, a função é côncava para cima em todo o seu domínio.

Passo 10

Vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
  • Domínio:
  • Interseções: Nenhuma com os eixos
  • Assíntota vertical:
  • Comportamento:
    • Decrescente em e
    • Crescente em e
  • Extremos:
    • Mínimos locais em e
  • Concavidade: Côncava para cima em todo o domínio
  • Limites:

Passo 11

Por fim, vamos escolher um ponto no gráfico e encontrar a equação da reta tangente nesse ponto. Vamos escolher o ponto .
Primeiro, encontramos a derivada em :
A inclinação da reta tangente é .
A equação da reta tangente tem a forma:
Substituindo os valores:

Resposta

O gráfico da função possui domínio em todos os reais, exceto . Não intercepta os eixos, tem uma assíntota vertical em , é côncava para cima em todo o domínio, e apresenta mínimos locais nos pontos e . A função é decrescente nos intervalos e , e crescente em e . A reta tangente no ponto é a reta horizontal .

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