Calcule: lim x 2(1x-2-4x^2-4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o exercício de calcular o limite quando se aproxima de 2 para a expressão . Vamos usar conhecimentos de álgebra, como fatoração de expressões e simplificação de frações, além de entender como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na segunda fração: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Sabemos que 4(x - 2)(x + 2) é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, a fração fica:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão original substituindo a segunda fração fatorada:
1x - 2 - 4(x - 2)(x + 2)
Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. Já que ambas têm 1 cdot (x + 2)(x - 2)(x + 2) - 4(x - 2)(x + 2) , o denominador comum será x + 2 - 4(x - 2)(x + 2) = x - 2(x - 2)(x + 2) . Vamos ajustar a primeira fração:
O que simplifica para:

Passo 4

Agora, observamos que o termo cancelx - 2cancelx - 2(x + 2) = 1x + 2 está presente no numerador e no denominador, então podemos simplificar:

Passo 5

Por fim, aplicamos o limite substituindo limx 2 1x + 2 = 12 + 2 = 14 por 2 na expressão simplificada:

Resposta

O limite quando se aproxima de 2 é .

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