Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado com limites e derivadas, especificamente com a definição da derivada. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes cúbicas e aplicar a definição de derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão. Substituindo:
Esse resultado é indeterminado, o que significa que precisamos de outra estratégia para resolver o limite.
Passo 3
Uma maneira eficaz de resolver esse limite é usar a definição de derivada. Lembre-se que a derivada de uma função
em
pode ser definida como:
Comparando com o nosso limite, podemos pensar na expressão
como a função
. Assim, podemos identificar que estamos buscando a derivada de
em
.
Passo 4
Vamos definir a função
. Para encontrar
, usamos a regra da derivada para funções compostas. A derivada de
é:
Passo 5
Agora, calculamos
substituindo
na derivada encontrada:
Sabemos que
, então:
Resposta
O valor do limite é
.