Calcule: lim x 1 raiz[3]3 x+5-2x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado com limites e derivadas, especificamente com a definição da derivada. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes cúbicas e aplicar a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz[3]3(1) + 5 - 21 - 1 = raiz[3]8 - 20 = 2 - 20 = 00 diretamente na expressão. Substituindo:
Esse resultado é indeterminado, o que significa que precisamos de outra estratégia para resolver o limite.

Passo 3

Uma maneira eficaz de resolver esse limite é usar a definição de derivada. Lembre-se que a derivada de uma função f'(a) = limx a f(x) - f(a)x - a em pode ser definida como:
Comparando com o nosso limite, podemos pensar na expressão como a função . Assim, podemos identificar que estamos buscando a derivada de em .

Passo 4

Vamos definir a função f'(x) = ddx (3x + 5)^1/3 = 13(3x + 5)^-2/3 cdot 3 = (3x + 5)^-2/3 . Para encontrar , usamos a regra da derivada para funções compostas. A derivada de é:

Passo 5

Agora, calculamos f'(1) = (3(1) + 5)^-2/3 = (8)^-2/3 substituindo 8^-2/3 = (8^1/3)^-2 = 2^-2 = 14 na derivada encontrada:
Sabemos que , então:

Resposta

O valor do limite é .

Exercícios relacionados

Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique.
(d) f(x) = { (x^2 + x) / (x + 1) se x ≠ -1; 2 se x = -1 } É contínua em -1? E em 0? Por quê?
Calcule: lim x 2(1x-2-4x^2-4)
(2,0) Mostre que o limite
lim (x, y) (0,0) x y^4x^2+y^8
não existe.
Considere a função
f(x)= x^2-1, & se -1 <= x<0 2 x, & se 0
Responda:
(e) Existe f(1) ?