Calcule lim x 0^+[1x+ln x]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite de 1x + ln x quando x se aproxima de 0 pela direita. Vamos usar conceitos de limites e comportamento das funções 1x e ln x perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão:
  • 1x: Conforme x se aproxima de 0 pelo lado positivo, essa fração cresce sem limite, ou seja, tende a +infty.
  • ln x: Quando x se aproxima de 0 pela direita, o logaritmo natural de x tende a -infty.
Então, temos uma situação onde +infty mais -infty aparece. Isso é chamado de forma indeterminada, porque não dá para concluir o resultado direto.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a aplicação de regras de cálculo de limites. Podemos combinar os termos em uma única fração:
1x + ln x = 1 + x ln xx
Agora, o limite passa a ser:
limx to 0^+ 1 + x ln xx

Passo 4

Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
  • Numerador ( 1 + x ln x): Quando x tende a 0, x ln x tende a 0 porque x vai para 0 e |ln x| cresce, mas multiplicando por x que vai para 0 faz esse termo tender a 0. Assim, o numerador tende a 1.
  • Denominador ( x): Já sabemos que x tende a 0.
Então, a expressão se aproxima de 10, que é +infty.

Resposta

Portanto, o limite é +infty.

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