Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite de quando se aproxima de pela direita. Vamos usar conceitos de limites e comportamento das funções e perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão:
  • : Conforme se aproxima de pelo lado positivo, essa fração cresce sem limite, ou seja, tende a .
  • : Quando se aproxima de pela direita, o logaritmo natural de tende a .
Então, temos uma situação onde mais aparece. Isso é chamado de forma indeterminada, porque não dá para concluir o resultado direto.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a aplicação de regras de cálculo de limites. Podemos combinar os termos em uma única fração:
Agora, o limite passa a ser:

Passo 4

Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
  • Numerador ( ): Quando tende a , tende a porque vai para e cresce, mas multiplicando por que vai para faz esse termo tender a . Assim, o numerador tende a .
  • Denominador ( ): Já sabemos que tende a .
Então, a expressão se aproxima de , que é .

Resposta

Portanto, o limite é .

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