Mostre que cada membro da equação de onda:
tem as mesmas dimensões.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos mostrar que cada lado da equação de onda
tem as mesmas dimensões. Isso faz parte da análise dimensional, uma ferramenta importante na física que ajuda a verificar se as equações estão corretas em termos de unidades. Para resolver isso, vamos analisar as dimensões de cada termo da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa analisar as dimensões de uma equação. Em física, uma equação só pode ser válida se todos os seus termos tiverem as mesmas dimensões. Isso garante que a equação faça sentido fisicamente. Então, nosso objetivo é mostrar que o lado esquerdo e o lado direito da equação de onda têm as mesmas dimensões.
Passo 3
Vamos começar analisando o lado esquerdo da equação:
. Aqui,
geralmente representa uma grandeza física como o deslocamento, que tem dimensão de comprimento, representada por
. A derivada segunda em relação a
implica que estamos dividindo por
duas vezes. Assim:
Portanto, o lado esquerdo tem dimensão de
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o lado direito da equação:
. Aqui,
é a velocidade, que tem dimensão de
. Então,
tem dimensão de
. A derivada segunda de
em relação ao tempo
é:
Multiplicando as dimensões:
Assim, o lado direito também tem dimensão de
.
Resposta
Como ambos os lados da equação de onda têm a dimensão de
, mostramos que cada membro da equação de onda
possui as mesmas dimensões.
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,
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