Mostre que cada membro da equação de onda: partial^2 ypartial x^2=1v^2 partial^2 ypartial t^2 tem as mesmas dimensões.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos mostrar que cada lado da equação de onda tem as mesmas dimensões. Isso faz parte da análise dimensional, uma ferramenta importante na física que ajuda a verificar se as equações estão corretas em termos de unidades. Para resolver isso, vamos analisar as dimensões de cada termo da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa analisar as dimensões de uma equação. Em física, uma equação só pode ser válida se todos os seus termos tiverem as mesmas dimensões. Isso garante que a equação faça sentido fisicamente. Então, nosso objetivo é mostrar que o lado esquerdo e o lado direito da equação de onda têm as mesmas dimensões.

Passo 3

Vamos começar analisando o lado esquerdo da equação: Dimensão de partial^2 ypartial x^2 = [y][x]^2 = LL^2 = L^-1 . Aqui, geralmente representa uma grandeza física como o deslocamento, que tem dimensão de comprimento, representada por . A derivada segunda em relação a implica que estamos dividindo por duas vezes. Assim:
ã
Portanto, o lado esquerdo tem dimensão de .

Passo 4

Agora, vamos analisar o lado direito da equação: Dimensão de partial^2 ypartial t^2 = [y][t]^2 = LT^2 . Aqui, 1v^2 partial^2 ypartial t^2 = [L]^-2[T]^2 times LT^2 = LL^2 = L^-1 é a velocidade, que tem dimensão de . Então, tem dimensão de . A derivada segunda de em relação ao tempo é:
ã
Multiplicando as dimensões:
Assim, o lado direito também tem dimensão de .

Resposta

Como ambos os lados da equação de onda têm a dimensão de , mostramos que cada membro da equação de onda possui as mesmas dimensões.

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