Utilize a transformação dada para calcular a integral. , onde é a região limitada pela elipse ,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é limitada pela elipse . Para resolver isso, vamos usar uma transformação de coordenadas que simplifica a região de integração. Vamos precisar aplicar a mudança de variáveis, calcular o determinante jacobiano e reescrever a integral na nova coordenada.
Passo 2
Vamos começar aplicando a transformação dada:
Essa transformação nos ajuda a simplificar a equação da elipse. Substituindo e na equação da elipse:
Após simplificar, veremos que a elipse se transforma em uma circunferência no plano , o que facilitará a integração.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
partial ypartial u = raiz2, partial ypartial v = raiz23
Com o jacobiano calculado, reescrevemos a integral original em termos de integral duplaR (x^2 - x y + y^2) dA = integral duplaS ( (raiz2, u - raiz23, v)^2 - (raiz2, u - raiz23, v)(raiz2, u + raiz23, v) + (raiz2, u + raiz23, v)^2 ) cdot |4raiz3| du dv e :
Onde é a nova região de integração, que agora é uma circunferência de raio correspondente devido à transformação.
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
x^2 - x y + y^2 = (raiz2, u - raiz23, v)^2 - (raiz2, u - raiz23, v)(raiz2, u + raiz23, v) + (raiz2, u + raiz23, v)^2
Após simplificar todos os termos, vemos que a expressão se reduz a uma função mais simples em e , possibilitando a integração em coordenadas polares.
Passo 6
Considerando que a região integral0^2pi integral0^R f(r, theta) cdot r cdot 4raiz3 dr dtheta é uma circunferência de raio , podemos mudar para coordenadas polares e . A integral se torna:
Aqui, representa a função simplificada obtida no passo anterior.
Passo 7
Após realizar as integrações necessárias em e , e levando em consideração os limites da circunferência, chegamos ao valor final da integral.