Utilize a transformação dada para calcular a integral.
integral duplaR(x^2-x y+y^2) d A, onde R é a região limitada pela elipse x^2-x y+y^2=2 ; x=raiz2 u-raiz2 / 3 v, y=raiz2 u+raiz2 / 3 v

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é limitada pela elipse . Para resolver isso, vamos usar uma transformação de coordenadas que simplifica a região de integração. Vamos precisar aplicar a mudança de variáveis, calcular o determinante jacobiano e reescrever a integral na nova coordenada.

Passo 2

Vamos começar aplicando a transformação dada:
x = raiz2, u - raiz23, v
y = raiz2, u + raiz23, v
Essa transformação nos ajuda a simplificar a equação da elipse. Substituindo (raiz2, u - raiz23, v)^2 - (raiz2, u - raiz23, v)(raiz2, u + raiz23, v) + (raiz2, u + raiz23, v)^2 = 2 e na equação da elipse:
Após simplificar, veremos que a elipse se transforma em uma circunferência no plano , o que facilitará a integração.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v é dado por:
partial xpartial u = raiz2, partial xpartial v = -raiz23
Calculando as derivadas parciais:
partial ypartial u = raiz2, partial ypartial v = raiz23
J = raiz2 cdot raiz23 - (-raiz23) cdot raiz2 = 2raiz3 + 2raiz3 = 4raiz3
Então,

Passo 4

Com o jacobiano calculado, reescrevemos a integral original em termos de integral duplaR (x^2 - x y + y^2) dA = integral duplaS ( (raiz2, u - raiz23, v)^2 - (raiz2, u - raiz23, v)(raiz2, u + raiz23, v) + (raiz2, u + raiz23, v)^2 ) cdot |4raiz3| du dv e :
Onde é a nova região de integração, que agora é uma circunferência de raio correspondente devido à transformação.

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
x^2 - x y + y^2 = (raiz2, u - raiz23, v)^2 - (raiz2, u - raiz23, v)(raiz2, u + raiz23, v) + (raiz2, u + raiz23, v)^2
Após simplificar todos os termos, vemos que a expressão se reduz a uma função mais simples em e , possibilitando a integração em coordenadas polares.

Passo 6

Considerando que a região integral0^2pi integral0^R f(r, theta) cdot r cdot 4raiz3 dr dtheta é uma circunferência de raio , podemos mudar para coordenadas polares e . A integral se torna:
Aqui, representa a função simplificada obtida no passo anterior.

Passo 7

Após realizar as integrações necessárias em e , e levando em consideração os limites da circunferência, chegamos ao valor final da integral.

Resposta

A integral calculada é igual a .

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