Utilize a transformação dada para calcular a integral.
, onde é a região limitada pela elipse ,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é limitada pela elipse . Para resolver isso, vamos usar uma transformação de coordenadas que simplifica a região de integração. Vamos precisar aplicar a mudança de variáveis, calcular o determinante jacobiano e reescrever a integral na nova coordenada.

Passo 2

Vamos começar aplicando a transformação dada:
Essa transformação nos ajuda a simplificar a equação da elipse. Substituindo e na equação da elipse:
Após simplificar, veremos que a elipse se transforma em uma circunferência no plano , o que facilitará a integração.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 4

Com o jacobiano calculado, reescrevemos a integral original em termos de e :
Onde é a nova região de integração, que agora é uma circunferência de raio correspondente devido à transformação.

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Após simplificar todos os termos, vemos que a expressão se reduz a uma função mais simples em e , possibilitando a integração em coordenadas polares.

Passo 6

Considerando que a região é uma circunferência de raio , podemos mudar para coordenadas polares e . A integral se torna:
Aqui, representa a função simplificada obtida no passo anterior.

Passo 7

Após realizar as integrações necessárias em e , e levando em consideração os limites da circunferência, chegamos ao valor final da integral.

Resposta

A integral calculada é igual a .

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