Calcule: lim x 3 x^2+x+2x^2-2 x-3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui estamos trabalhando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Para resolver, precisamos verificar se conseguimos simplificar a expressão ou substituir diretamente o valor de para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 3^2 + 3 + 23^2 - 2 times 3 - 3 = 9 + 3 + 29 - 6 - 3 = 140 diretamente na expressão para ver se conseguimos obter um valor definido:
Aqui, o denominador dá zero, o que indica que a substituição direta não funcionou e precisamos investigar mais a fundo.

Passo 3

Quando a substituição direta resulta em uma divisão por zero, isso pode significar que há um mínimo comum que pode ser simplificado. Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se há termos que se cancelam.
Numerador: x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
Denominador:
Vamos fatorar o denominador:
O numerador não é facilmente fatorável com números inteiros, então percebemos que não há fatores comuns para cancelar. Isso nos leva a considerar o comportamento da função perto de .

Passo 4

Como o denominador se aproxima de zero quando se aproxima de 3, precisamos analisar o sinal do numerador e do denominador para entender para onde o limite tende.
Vamos considerar valores ligeiramente menores e maiores que 3:
Para próximo a 3:
  • Numerador: será sempre positivo, pois é uma soma de termos positivos quando está próximo de 3.
  • Denominador:
    • Se se aproxima de 3 pela esquerda ( ): é negativo e é positivo, então o denominador é negativo.
    • Se se aproxima de 3 pela direita ( ): é positivo e é positivo, então o denominador é positivo.

Passo 5

Com base nisso:
  • Se se aproxima de 3 pela esquerda, a função tende a porque o numerador é positivo e o denominador é negativo, resultando em um valor muito negativo.
  • Se se aproxima de 3 pela direita, a função tende a porque tanto o numerador quanto o denominador são positivos, resultando em um valor muito positivo.

Resposta

O limite não existe porque e .

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