Calcule:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui estamos trabalhando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Para resolver, precisamos verificar se conseguimos simplificar a expressão ou substituir diretamente o valor de
para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver se conseguimos obter um valor definido:
Aqui, o denominador dá zero, o que indica que a substituição direta não funcionou e precisamos investigar mais a fundo.
Passo 3
Quando a substituição direta resulta em uma divisão por zero, isso pode significar que há um mínimo comum que pode ser simplificado. Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se há termos que se cancelam.
Numerador:
Denominador:
Denominador:
Vamos fatorar o denominador:
O numerador
não é facilmente fatorável com números inteiros, então percebemos que não há fatores comuns para cancelar. Isso nos leva a considerar o comportamento da função perto de
.
Passo 4
Como o denominador se aproxima de zero quando
se aproxima de 3, precisamos analisar o sinal do numerador e do denominador para entender para onde o limite tende.
Vamos considerar valores ligeiramente menores e maiores que 3:
Para
próximo a 3:
- Numerador:
será sempre positivo, pois é uma soma de termos positivos quando está próximo de 3. - Denominador:
- Se
se aproxima de 3 pela esquerda ( ): é negativo e é positivo, então o denominador é negativo. - Se
se aproxima de 3 pela direita ( ): é positivo e é positivo, então o denominador é positivo.
- Se
Passo 5
Com base nisso:
- Se
se aproxima de 3 pela esquerda, a função tende a porque o numerador é positivo e o denominador é negativo, resultando em um valor muito negativo. - Se
se aproxima de 3 pela direita, a função tende a porque tanto o numerador quanto o denominador são positivos, resultando em um valor muito positivo.
Resposta
O limite não existe porque
e
.
Exercícios relacionados
Calcule:
Resolva os limites:
Calcule o volume do tetraedro delimitado pelo plano
e pelos planos coordenados.
Usando substituição de variável, resolva as integrais abaixo :
(a)
(a)