Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está ligado ao cálculo de limites, especificamente envolvendo funções com raízes e indeterminações. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam o numerador e o denominador quando
se aproxima de 2 pela esquerda.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
).
-
Numerador:
- Quando
se aproxima de 2, se aproxima de 4, então se aproxima de 0. - Assim,
.
- Quando
-
Denominador:
- Quando
se aproxima de 2 pela esquerda, é menor que 2, então é uma quantidade negativa que se aproxima de 0. - Assim,
.
- Quando
Então, temos uma forma indeterminada do tipo
, o que nos permite usar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital diz que se
resulta em
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas:
Aplicando isso ao nosso caso:
-
Derivada do numerador:
-
-
Derivada do denominador:
-
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo pelas derivadas:
Passo 5
Vamos avaliar esse novo limite:
- Quando
, , então . - O denominador
(sempre positivo, porque é uma raiz quadrada de um número positivo próximo de 0).
Portanto, temos
.