Calcule: lim x 2^- raiz4-x^2x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está ligado ao cálculo de limites, especificamente envolvendo funções com raízes e indeterminações. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam o numerador e o denominador quando se aproxima de 2 pela esquerda.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ).
  • Numerador:
    • Quando se aproxima de 2, se aproxima de 4, então se aproxima de 0.
    • Assim, .
  • Denominador:
    • Quando se aproxima de 2 pela esquerda, é menor que 2, então é uma quantidade negativa que se aproxima de 0.
    • Assim, .
Então, temos uma forma indeterminada do tipo , o que nos permite usar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas:
Aplicando isso ao nosso caso:
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo pelas derivadas:
limx 2^- raiz4 - x^2x - 2 = limx 2^- -xraiz4 - x^21 = limx 2^- -xraiz4 - x^2

Passo 5

Vamos avaliar esse novo limite:
  • Quando , , então .
  • O denominador (sempre positivo, porque é uma raiz quadrada de um número positivo próximo de 0).
Portanto, temos .

Resposta

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