Usando substituição de variável, resolva as integrais abaixo :
(a) integral 2^5 x d x

Passo 1

Beleza, temos que resolver a integral usando substituição de variável. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente lidando com integrais de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a substituição para simplificar a integral e encontrar sua antiderivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração. Vamos definir:
u = 5x
Isso simplifica o expoente da função exponencial. Agora, vamos derivar dudx = 5 Rightarrow dx = du5 em relação a para encontrar :

Passo 3

Substituindo integral 2^5x , dx = integral 2^u cdot du5 = 15 integral 2^u , du e na integral original, temos:

Passo 4

Agora, precisamos integrar integral a^u , du = a^uln a + C em relação a integral 2^u , du = 2^uln 2 + C . Sabemos que a integral de é:
Aplicando isso com :

Passo 5

Voltando à nossa expressão, substituímos a integral:
15 integral 2^u , du = 15 ( 2^uln 2 ) + C = 2^u5 ln 2 + C

Passo 6

Por fim, lembrando que 2^5x5 ln 2 + C , substituímos de volta:

Resposta

A solução da integral é:
integral 2^5x , dx = 2^5x5 ln 2 + C

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