Calcule o volume do tetraedro delimitado pelo plano
e pelos planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um tetraedro que é formado pelo plano
e pelos planos coordenados
,
e
. Para isso, vamos usar um pouco de geometria espacial e algumas fórmulas de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vértices do tetraedro. Esses vértices são os pontos onde o plano
intercepta os eixos coordenados. Para encontrar esses pontos, vamos definir duas das variáveis como zero e resolver para a terceira.
-
Interseção com o eixo x:
e . . Ponto: -
Interseção com o eixo y:
e . . Ponto: -
Interseção com o eixo z:
e . . Ponto:
Além disso, temos o ponto de origem
, onde os três planos coordenados se encontram.
Passo 3
Agora que temos os quatro vértices do tetraedro:
,
,
e
, vamos calcular o volume. Existe uma fórmula prática para o volume de um tetraedro cujos vértices estão nos pontos
,
,
e
:
Aqui,
,
e
são as distâncias dos vértices às origens nos eixos x, y e z, respectivamente.
Passo 4
No nosso caso,
,
e
, já que as interseções estão em
,
e
. Substituindo esses valores na fórmula:
Resposta
O volume do tetraedro é
unidades cúbicas.
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Calcule:
;
Calcule:
Usando substituição de variável, resolva as integrais abaixo :
(a)
(a)
Usando substituição de variável, resolva as integrais abaixo :
(j)
(j)