Calcule o volume do tetraedro delimitado pelo plano e pelos planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um tetraedro que é formado pelo plano e pelos planos coordenados , e . Para isso, vamos usar um pouco de geometria espacial e algumas fórmulas de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vértices do tetraedro. Esses vértices são os pontos onde o plano intercepta os eixos coordenados. Para encontrar esses pontos, vamos definir duas das variáveis como zero e resolver para a terceira.
  • Interseção com o eixo x: e .
    .
    Ponto:
  • Interseção com o eixo y: e .
    .
    Ponto:
  • Interseção com o eixo z: e .
    .
    Ponto:
Além disso, temos o ponto de origem , onde os três planos coordenados se encontram.

Passo 3

Agora que temos os quatro vértices do tetraedro: , , e , vamos calcular o volume. Existe uma fórmula prática para o volume de um tetraedro cujos vértices estão nos pontos , , e :
Aqui, , e são as distâncias dos vértices às origens nos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 4

No nosso caso, , e , já que as interseções estão em , e . Substituindo esses valores na fórmula:

Resposta

O volume do tetraedro é unidades cúbicas.

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Calcule: ;
Calcule:
Usando substituição de variável, resolva as integrais abaixo :
(a)
Usando substituição de variável, resolva as integrais abaixo :
(j)