Calcule:
lim x 0^+[cos 3 x]^1sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com limites em cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões que envolvem funções trigonométricas e expoentes complicados.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Quando temos uma função elevada a uma potência que também depende de L = lim x 0^+[cos 3x]^1sen x , uma boa estratégia é usar o logaritmo natural para facilitar a resolução. Então, vamos chamar o limite que queremos encontrar de ln L = lim x 0^+ ln(cos 3x)sen x :
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cos 3x approx 1 - (3x)^22 = 1 - 9x^22 e quando sen x approx x se aproxima de 0.
Sabemos que quando é pequeno:
E:

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão do logaritmo:
ln L approx lim x 0^+ ln(1 - 9x^22)x
Para valores pequenos de ln L approx lim x 0^+ -9x^22x = lim x 0^+ -9x2 = 0 , podemos usar a aproximação quando é próximo de 0. Aplicando isso:

Passo 5

Agora que encontramos que L = e^ln L = e^0 = 1 , podemos resolver para usando a função exponencial:

Resposta

1

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