Determine o domínio da função
e faça um esboço desse conjunto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função
Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis e envolve entender raízes quadradas. Para isso, vamos precisar garantir que o que está dentro das raízes seja não negativo, já que a raiz quadrada de número negativo não é um número real.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira raiz quadrada:
Para que essa expressão seja válida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda raiz quadrada:
Aqui, o que está dentro da raiz é simplesmente
. Para essa raiz ser válida,
também precisa ser maior ou igual a zero:
Passo 4
Então, juntando as duas condições que encontramos:
Essas duas desigualdades definem o domínio da função
. Ou seja, o conjunto de todos os pontos
que satisfazem essas condições.
Passo 5
Para fazer um esboço desse domínio, vamos entender cada condição:
-
é a equação de um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície se parece com uma sela ou uma estrutura em forma de ampulheta. -
A condição
restringe esse hiperboloide para a parte acima do plano .
Então, o domínio da função
é a parte do hiperboloide de uma folha que está acima do plano
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
em que
e
. Esse conjunto forma a parte do hiperboloide de uma folha que está acima do plano
.
Exercícios relacionados
Calcule:
Seja
Calcule
e
Escreva as formas de decomposição em fraçōes parciais da funçăo (como no Exemplo 7). Nâo determine os valores numéricos dos coeficientes.
(a)
(a)
Esboce o gráfico da função
, definida por