Determine o domínio da função
e faça um esboço desse conjunto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função
Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis e envolve entender raízes quadradas. Para isso, vamos precisar garantir que o que está dentro das raízes seja não negativo, já que a raiz quadrada de número negativo não é um número real.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira raiz quadrada:
Para que essa expressão seja válida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda raiz quadrada:
Aqui, o que está dentro da raiz é simplesmente . Para essa raiz ser válida, também precisa ser maior ou igual a zero:

Passo 4

Então, juntando as duas condições que encontramos:
Essas duas desigualdades definem o domínio da função . Ou seja, o conjunto de todos os pontos que satisfazem essas condições.

Passo 5

Para fazer um esboço desse domínio, vamos entender cada condição:
  1. é a equação de um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície se parece com uma sela ou uma estrutura em forma de ampulheta.
  2. A condição restringe esse hiperboloide para a parte acima do plano .
Então, o domínio da função é a parte do hiperboloide de uma folha que está acima do plano .

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos em que e . Esse conjunto forma a parte do hiperboloide de uma folha que está acima do plano .

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(a)
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